Risolvi 2x^2+2x+1=0

$$2 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i=-0,5+0,5i$$

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i=-0,5-0,5i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2x^{2}+2x+1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, 2 a b e 1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2}}{2\times 2}$$

Eleva 2 al quadrato.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8}}{2\times 2}$$

Aggiungi 4 a -8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-4}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di -4.

$$x=\frac{-2±2i}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{-2±2i}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-2±2i}{4} quando ± è più. Aggiungi -2 a 2i.

$$x=\frac{-2+2i}{4}$$

Dividi -2+2i per 4.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-2±2i}{4} quando ± è meno. Sottrai 2i da -2.

$$x=\frac{-2-2i}{4}$$

Dividi -2-2i per 4.

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+2x+1=0$$

Sottrai 1 da entrambi i lati dell'equazione.

$$2x^{2}+2x+1-1=-1$$

Sottraendo 1 da se stesso rimane 0.

$$2x^{2}+2x=-1$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=-\frac{1}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=-\frac{1}{2}$$

Dividi 2 per 2.

$$x^{2}+x=-\frac{1}{2}$$

Dividi 1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Aggiungi -\frac{1}{2} a \frac{1}{4} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$$

Fattore x^{2}+x+\frac{1}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{4}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}i x+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}i$$

Sottrai \frac{1}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$