Risolvi 2x^2+17x+21=0

$$2 x ^ { 2 } + 17 x + 21 = 0$$

Trova x

$$x=-7$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 2x^{2}+ax+bx+21. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=17 ab=2\times 21=42$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 42.

$$1,42 2,21 3,14 6,7$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+42=43 2+21=23 3+14=17 6+7=13$$

La soluzione è la coppia che restituisce 17 come somma.

$$a=3 b=14$$

Riscrivi 2x^{2}+17x+21 come \left(2x^{2}+3x\right)+\left(14x+21\right).

$$\left(2x^{2}+3x\right)+\left(14x+21\right)$$

Fattori in x nel primo e 7 nel secondo gruppo.

$$x\left(2x+3\right)+7\left(2x+3\right)$$

Fattorizza il termine comune 2x+3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2x+3\right)\left(x+7\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 2x+3=0 e x+7=0.

$$x=-\frac{3}{2} x=-7$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2x^{2}+17x+21=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, 17 a b e 21 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

Eleva 17 al quadrato.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-8\times 21}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per 21.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-168}}{2\times 2}$$

Aggiungi 289 a -168.

$$x=\frac{-17±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 121.

$$x=\frac{-17±11}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{-17±11}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-17±11}{4} quando ± è più. Aggiungi -17 a 11.

$$x=-\frac{6}{4}$$

Riduci la frazione \frac{-6}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-17±11}{4} quando ± è meno. Sottrai 11 da -17.

$$x=-\frac{28}{4}$$

Dividi -28 per 4.

$$x=-7$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{3}{2} x=-7$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+17x+21=0$$

Sottrai 21 da entrambi i lati dell'equazione.

$$2x^{2}+17x+21-21=-21$$

Sottraendo 21 da se stesso rimane 0.

$$2x^{2}+17x=-21$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}+17x}{2}=-\frac{21}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x=-\frac{21}{2}$$

Dividi \frac{17}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{17}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{17}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x+\left(\frac{17}{4}\right)^{2}=-\frac{21}{2}+\left(\frac{17}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{17}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=-\frac{21}{2}+\frac{289}{16}$$

Aggiungi -\frac{21}{2} a \frac{289}{16} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=\frac{121}{16}$$

Fattore x^{2}+\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{17}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{17}{4}=\frac{11}{4} x+\frac{17}{4}=-\frac{11}{4}$$

Sottrai \frac{17}{4} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-\frac{3}{2} x=-7$$