Risolvi 2x^2+10x=72

$$2 x ^ { 2 } + 10 x = 72$$

Trova x

$$x=-9$$

$$x=4$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 72 da entrambi i lati.

$$2x^{2}+10x-72=0$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$x^{2}+5x-36=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-36. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=5 ab=1\left(-36\right)=-36$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

La soluzione è la coppia che restituisce 5 come somma.

$$a=-4 b=9$$

Riscrivi x^{2}+5x-36 come \left(x^{2}-4x\right)+\left(9x-36\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(9x-36\right)$$

Fattori in x nel primo e 9 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-4\right)+9\left(x-4\right)$$

Fattorizza il termine comune x-4 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-4\right)\left(x+9\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-4=0 e x+9=0.

$$x=4 x=-9$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2x^{2}+10x=72$$

Sottrai 72 da entrambi i lati dell'equazione.

$$2x^{2}+10x-72=72-72$$

Sottraendo 72 da se stesso rimane 0.

$$2x^{2}+10x-72=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, 10 a b e -72 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 2\left(-72\right)}}{2\times 2}$$

Eleva 10 al quadrato.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 2\left(-72\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-8\left(-72\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per -72.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+576}}{2\times 2}$$

Aggiungi 100 a 576.

$$x=\frac{-10±\sqrt{676}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 676.

$$x=\frac{-10±26}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{-10±26}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-10±26}{4} quando ± è più. Aggiungi -10 a 26.

$$x=\frac{16}{4}$$

Dividi 16 per 4.

$$x=4$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-10±26}{4} quando ± è meno. Sottrai 26 da -10.

$$x=-\frac{36}{4}$$

Dividi -36 per 4.

$$x=-9$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=4 x=-9$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+10x=72$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}+10x}{2}=\frac{72}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}+\frac{10}{2}x=\frac{72}{2}$$

Dividi 10 per 2.

$$x^{2}+5x=\frac{72}{2}$$

Dividi 72 per 2.

$$x^{2}+5x=36$$

Dividi 5, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{5}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{5}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=36+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{5}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=36+\frac{25}{4}$$

Aggiungi 36 a \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{169}{4}$$

Fattore x^{2}+5x+\frac{25}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{13}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{13}{2}$$

Sottrai \frac{5}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=4 x=-9$$