Risolvi 2x=2y+14text{ANO}3y=-5x+3

$$2 x = 2 y + 14 \text { ANO } 3 y = - 5 x + 3$$

Trova x,.y

$$x=3$$

$$y=-4$$

Procedura tramite sostituzione

Considera la prima equazione. Sottrai 2y da entrambi i lati.

$$2x-2y=14$$

Considera la seconda equazione. Aggiungi 5x a entrambi i lati.

$$3y+5x=3$$

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$2x-2y=14,5x+3y=3$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$2x-2y=14$$

Aggiungi 2y a entrambi i lati dell'equazione.

$$2x=2y+14$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(2y+14\right)$$

Moltiplica \frac{1}{2} per 14+2y.

$$x=y+7$$

Sostituisci y+7 a x nell'altra equazione 5x+3y=3.

$$5\left(y+7\right)+3y=3$$

Moltiplica 5 per y+7.

$$5y+35+3y=3$$

Aggiungi 5y a 3y.

$$8y+35=3$$

Sottrai 35 da entrambi i lati dell'equazione.

$$8y=-32$$

Dividi entrambi i lati per 8.

$$y=-4$$

Sostituisci -4 a y in x=y+7. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=-4+7$$

Aggiungi 7 a -4.

$$x=3$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=3,y=-4$$

Procedura usando le matrici

Considera la prima equazione. Sottrai 2y da entrambi i lati.

$$2x-2y=14$$

Considera la seconda equazione. Aggiungi 5x a entrambi i lati.

$$3y+5x=3$$

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$2x-2y=14,5x+3y=3$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}&\frac{1}{8}\\-\frac{5}{16}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\3\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}\times 14+\frac{1}{8}\times 3\\-\frac{5}{16}\times 14+\frac{1}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=3,y=-4$$

Procedura tramite eliminazione

Considera la prima equazione. Sottrai 2y da entrambi i lati.

$$2x-2y=14$$

Considera la seconda equazione. Aggiungi 5x a entrambi i lati.

$$3y+5x=3$$

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$2x-2y=14,5x+3y=3$$

Per rendere 2x e 5x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 5 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 2.

$$5\times 2x+5\left(-2\right)y=5\times 14,2\times 5x+2\times 3y=2\times 3$$

Semplifica.

$$10x-10y=70,10x+6y=6$$

Sottrai 10x+6y=6 a 10x-10y=70 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$10x-10x-10y-6y=70-6$$

Aggiungi 10x a -10x. I termini 10x e -10x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$-10y-6y=70-6$$

Aggiungi -10y a -6y.

$$-16y=70-6$$

Aggiungi 70 a -6.

$$-16y=64$$

Dividi entrambi i lati per -16.

$$y=-4$$

Sostituisci -4 a y in 5x+3y=3. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$5x+3\left(-4\right)=3$$

Moltiplica 3 per -4.

$$5x-12=3$$

Aggiungi 12 a entrambi i lati dell'equazione.

$$5x=15$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$x=3$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=3,y=-4$$