Risolvi 2x+y=1text{and}x-y=-4

$$2 x + y = 1 \text { and } x - y = - 4$$

Trova x,.y

$$x=-1$$

$$y=3$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$2x+y=1$$

Sottrai y da entrambi i lati dell'equazione.

$$2x=-y+1$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+1\right)$$

Moltiplica \frac{1}{2} per -y+1.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Sostituisci \frac{-y+1}{2} a x nell'altra equazione x-y=-4.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}-y=-4$$

Aggiungi -\frac{y}{2} a -y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=-4$$

Sottrai \frac{1}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{9}{2}$$

Dividi entrambi i lati dell'equazione per -\frac{3}{2}, che equivale a moltiplicare entrambi i lati per il reciproco della frazione.

$$y=3$$

Sostituisci 3 a y in x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}$$

Moltiplica -\frac{1}{2} per 3.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Aggiungi \frac{1}{2} a -\frac{3}{2} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x=-1$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=-1,y=3$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\left(-4\right)\\\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=-1,y=3$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Per rendere 2x e x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 1 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 2.

$$2x+y=1,2x+2\left(-1\right)y=2\left(-4\right)$$

Semplifica.

$$2x+y=1,2x-2y=-8$$

Sottrai 2x-2y=-8 a 2x+y=1 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$2x-2x+y+2y=1+8$$

Aggiungi 2x a -2x. I termini 2x e -2x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$y+2y=1+8$$

Aggiungi y a 2y.

$$3y=1+8$$

Aggiungi 1 a 8.

$$3y=9$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$y=3$$

Sostituisci 3 a y in x-y=-4. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x-3=-4$$

Aggiungi 3 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-1$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=-1,y=3$$