Risolvi 2x+3y=6quadtext{and}quad6x-5y=4

$$2 x + 3 y = 6 \quad \text { and } \quad 6 x - 5 y = 4$$

Trova x,.y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$y=1$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$2x+3y=6$$

Sottrai 3y da entrambi i lati dell'equazione.

$$2x=-3y+6$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

Moltiplica \frac{1}{2} per -3y+6.

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

Sostituisci -\frac{3y}{2}+3 a x nell'altra equazione 6x-5y=4.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+3\right)-5y=4$$

Moltiplica 6 per -\frac{3y}{2}+3.

$$-9y+18-5y=4$$

Aggiungi -9y a -5y.

$$-14y+18=4$$

Sottrai 18 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-14y=-14$$

Dividi entrambi i lati per -14.

$$y=1$$

Sostituisci 1 a y in x=-\frac{3}{2}y+3. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=-\frac{3}{2}+3$$

Aggiungi 3 a -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-3\times 6}&-\frac{3}{2\left(-5\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{2\left(-5\right)-3\times 6}&\frac{2}{2\left(-5\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}&\frac{3}{28}\\\frac{3}{14}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}\times 6+\frac{3}{28}\times 4\\\frac{3}{14}\times 6-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\1\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Per rendere 2x e 6x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 6 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 2.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 6,2\times 6x+2\left(-5\right)y=2\times 4$$

Semplifica.

$$12x+18y=36,12x-10y=8$$

Sottrai 12x-10y=8 a 12x+18y=36 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$12x-12x+18y+10y=36-8$$

Aggiungi 12x a -12x. I termini 12x e -12x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$18y+10y=36-8$$

Aggiungi 18y a 10y.

$$28y=36-8$$

Aggiungi 36 a -8.

$$28y=28$$

Dividi entrambi i lati per 28.

$$y=1$$

Sostituisci 1 a y in 6x-5y=4. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$6x-5=4$$

Aggiungi 5 a entrambi i lati dell'equazione.

$$6x=9$$

Dividi entrambi i lati per 6.

$$x=\frac{3}{2}$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$