Risolvi 2x+sqrt{x+1}=8

$$2 x + \sqrt { x + 1 } = 8$$

Trova x

$$x=3$$

Procedura della soluzione

Sottrai 2x da entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{x+1}=8-2x$$

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}=\left(8-2x\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{x+1} alla potenza di 2 e ottieni x+1.

$$x+1=\left(8-2x\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(8-2x\right)^{2}.

$$x+1=64-32x+4x^{2}$$

Sottrai 64 da entrambi i lati.

$$x+1-64=-32x+4x^{2}$$

Sottrai 64 da 1 per ottenere -63.

$$x-63=-32x+4x^{2}$$

Aggiungi 32x a entrambi i lati.

$$x-63+32x=4x^{2}$$

Combina x e 32x per ottenere 33x.

$$33x-63=4x^{2}$$

Sottrai 4x^{2} da entrambi i lati.

$$33x-63-4x^{2}=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-4x^{2}+33x-63=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -4x^{2}+ax+bx-63. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=33 ab=-4\left(-63\right)=252$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 252.

$$1,252 2,126 3,84 4,63 6,42 7,36 9,28 12,21 14,18$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+252=253 2+126=128 3+84=87 4+63=67 6+42=48 7+36=43 9+28=37 12+21=33 14+18=32$$

La soluzione è la coppia che restituisce 33 come somma.

$$a=21 b=12$$

Riscrivi -4x^{2}+33x-63 come \left(-4x^{2}+21x\right)+\left(12x-63\right).

$$\left(-4x^{2}+21x\right)+\left(12x-63\right)$$

Fattori in -x nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$-x\left(4x-21\right)+3\left(4x-21\right)$$

Fattorizza il termine comune 4x-21 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(4x-21\right)\left(-x+3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 4x-21=0 e -x+3=0.

$$x=\frac{21}{4} x=3$$

Sostituisci \frac{21}{4} a x nell'equazione 2x+\sqrt{x+1}=8.

$$2\times \frac{21}{4}+\sqrt{\frac{21}{4}+1}=8$$

Semplifica. Il valore x=\frac{21}{4} non soddisfa l'equazione.

$$13=8$$

Sostituisci 3 a x nell'equazione 2x+\sqrt{x+1}=8.

$$2\times 3+\sqrt{3+1}=8$$

Semplifica. Il valore x=3 soddisfa l'equazione.

$$8=8$$

L'equazione \sqrt{x+1}=8-2x ha una soluzione univoca.

$$x=3$$