Risolvi 2r^2+5r+2=0

$$2 r ^ { 2 } + 5 r + 2 = 0$$

Trova r

$$r=-2$$

$$r=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 2r^{2}+ar+br+2. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=5 ab=2\times 2=4$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 4.

$$1,4 2,2$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+4=5 2+2=4$$

La soluzione è la coppia che restituisce 5 come somma.

$$a=1 b=4$$

Riscrivi 2r^{2}+5r+2 come \left(2r^{2}+r\right)+\left(4r+2\right).

$$\left(2r^{2}+r\right)+\left(4r+2\right)$$

Fattori in r nel primo e 2 nel secondo gruppo.

$$r\left(2r+1\right)+2\left(2r+1\right)$$

Fattorizza il termine comune 2r+1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2r+1\right)\left(r+2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 2r+1=0 e r+2=0.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2r^{2}+5r+2=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, 5 a b e 2 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Eleva 5 al quadrato.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-8\times 2}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per 2.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-16}}{2\times 2}$$

Aggiungi 25 a -16.

$$r=\frac{-5±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 9.

$$r=\frac{-5±3}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$r=\frac{-5±3}{4}$$

Ora risolvi l'equazione r=\frac{-5±3}{4} quando ± è più. Aggiungi -5 a 3.

$$r=-\frac{2}{4}$$

Riduci la frazione \frac{-2}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$r=-\frac{1}{2}$$

Ora risolvi l'equazione r=\frac{-5±3}{4} quando ± è meno. Sottrai 3 da -5.

$$r=-\frac{8}{4}$$

Dividi -8 per 4.

$$r=-2$$

L'equazione è stata risolta.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$2r^{2}+5r+2=0$$

Sottrai 2 da entrambi i lati dell'equazione.

$$2r^{2}+5r+2-2=-2$$

Sottraendo 2 da se stesso rimane 0.

$$2r^{2}+5r=-2$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2r^{2}+5r}{2}=-\frac{2}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r=-\frac{2}{2}$$

Dividi -2 per 2.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r=-1$$

Dividi \frac{5}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{5}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{5}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=-1+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{5}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}=-1+\frac{25}{16}$$

Aggiungi -1 a \frac{25}{16}.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}=\frac{9}{16}$$

Fattore r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(r+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Semplifica.

$$r+\frac{5}{4}=\frac{3}{4} r+\frac{5}{4}=-\frac{3}{4}$$

Sottrai \frac{5}{4} da entrambi i lati dell'equazione.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$