Risolvi 2k^2+9k=-7

$$2 k ^ { 2 } + 9 k = - 7$$

Trova k

$$k = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$k=-1$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Aggiungi 7 a entrambi i lati.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 2k^{2}+ak+bk+7. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=9 ab=2\times 7=14$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 14.

$$1,14 2,7$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+14=15 2+7=9$$

La soluzione è la coppia che restituisce 9 come somma.

$$a=2 b=7$$

Riscrivi 2k^{2}+9k+7 come \left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right).

$$\left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right)$$

Fattorizza 2k nel primo e 7 nel secondo gruppo.

$$2k\left(k+1\right)+7\left(k+1\right)$$

Fattorizzare il termine comune k+1 usando la proprietà distributiva.

$$\left(k+1\right)\left(2k+7\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi k+1=0 e 2k+7=0.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Aggiungi 7 a entrambi i lati dell'equazione.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

Sottraendo -7 da se stesso rimane 0.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=0$$

Sottrai -7 da 0.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, 9 a b e 7 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Eleva 9 al quadrato.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 7}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per 7.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-56}}{2\times 2}$$

Aggiungi 81 a -56.

$$k=\frac{-9±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 25.

$$k=\frac{-9±5}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$k=\frac{-9±5}{4}$$

Ora risolvi l'equazione k=\frac{-9±5}{4} quando ± è più. Aggiungi -9 a 5.

$$k=-\frac{4}{4}$$

Dividi -4 per 4.

$$k=-1$$

Ora risolvi l'equazione k=\frac{-9±5}{4} quando ± è meno. Sottrai 5 da -9.

$$k=-\frac{14}{4}$$

Riduci la frazione \frac{-14}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$k=-\frac{7}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2k^{2}+9k}{2}=-\frac{7}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k=-\frac{7}{2}$$

Dividi \frac{9}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{9}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{9}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{9}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{81}{16}$$

Aggiungi -\frac{7}{2} a \frac{81}{16} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=\frac{25}{16}$$

Scomponi k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Semplifica.

$$k+\frac{9}{4}=\frac{5}{4} k+\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$$

Sottrai \frac{9}{4} da entrambi i lati dell'equazione.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$