Risolvi 2(x+1)^2-1=71

$$2 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 1 = 71$$

Trova x

$$x=5$$

$$x=-7$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+1\right)^{2}.

$$2\left(x^{2}+2x+1\right)-1=71$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2 per x^{2}+2x+1.

$$2x^{2}+4x+2-1=71$$

Sottrai 1 da 2 per ottenere 1.

$$2x^{2}+4x+1=71$$

Sottrai 71 da entrambi i lati.

$$2x^{2}+4x+1-71=0$$

Sottrai 71 da 1 per ottenere -70.

$$2x^{2}+4x-70=0$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$x^{2}+2x-35=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-35. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=2 ab=1\left(-35\right)=-35$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -35.

$$-1,35 -5,7$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+35=34 -5+7=2$$

La soluzione è la coppia che restituisce 2 come somma.

$$a=-5 b=7$$

Riscrivi x^{2}+2x-35 come \left(x^{2}-5x\right)+\left(7x-35\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(7x-35\right)$$

Fattori in x nel primo e 7 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-5\right)+7\left(x-5\right)$$

Fattorizza il termine comune x-5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-5\right)\left(x+7\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-5=0 e x+7=0.

$$x=5 x=-7$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+1\right)^{2}.

$$2\left(x^{2}+2x+1\right)-1=71$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2 per x^{2}+2x+1.

$$2x^{2}+4x+2-1=71$$

Sottrai 1 da 2 per ottenere 1.

$$2x^{2}+4x+1=71$$

Sottrai 71 da entrambi i lati.

$$2x^{2}+4x+1-71=0$$

Sottrai 71 da 1 per ottenere -70.

$$2x^{2}+4x-70=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, 4 a b e -70 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 2\left(-70\right)}}{2\times 2}$$

Eleva 4 al quadrato.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 2\left(-70\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-8\left(-70\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per -70.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+560}}{2\times 2}$$

Aggiungi 16 a 560.

$$x=\frac{-4±\sqrt{576}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 576.

$$x=\frac{-4±24}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{-4±24}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-4±24}{4} quando ± è più. Aggiungi -4 a 24.

$$x=\frac{20}{4}$$

Dividi 20 per 4.

$$x=5$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-4±24}{4} quando ± è meno. Sottrai 24 da -4.

$$x=-\frac{28}{4}$$

Dividi -28 per 4.

$$x=-7$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=5 x=-7$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+1\right)^{2}.

$$2\left(x^{2}+2x+1\right)-1=71$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2 per x^{2}+2x+1.

$$2x^{2}+4x+2-1=71$$

Sottrai 1 da 2 per ottenere 1.

$$2x^{2}+4x+1=71$$

Sottrai 1 da entrambi i lati.

$$2x^{2}+4x=71-1$$

Sottrai 1 da 71 per ottenere 70.

$$2x^{2}+4x=70$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}+4x}{2}=\frac{70}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}+\frac{4}{2}x=\frac{70}{2}$$

Dividi 4 per 2.

$$x^{2}+2x=\frac{70}{2}$$

Dividi 70 per 2.

$$x^{2}+2x=35$$

Dividi 2, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 1. Quindi aggiungi il quadrato di 1 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+2x+1^{2}=35+1^{2}$$

Eleva 1 al quadrato.

$$x^{2}+2x+1=35+1$$

Aggiungi 35 a 1.

$$x^{2}+2x+1=36$$

Fattore x^{2}+2x+1. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=36$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{36}$$

Semplifica.

$$x+1=6 x+1=-6$$

Sottrai 1 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=5 x=-7$$