Risolvi 2x^2-7x+5=0

$$2 { x }^{ 2 } -7x+5=0$$

Trova x

$$x=1$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 2x^{2}+ax+bx+5. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-7 ab=2\times 5=10$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 10.

$$-1,-10 -2,-5$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-10=-11 -2-5=-7$$

La soluzione è la coppia che restituisce -7 come somma.

$$a=-5 b=-2$$

Riscrivi 2x^{2}-7x+5 come \left(2x^{2}-5x\right)+\left(-2x+5\right).

$$\left(2x^{2}-5x\right)+\left(-2x+5\right)$$

Fattori in x nel primo e -1 nel secondo gruppo.

$$x\left(2x-5\right)-\left(2x-5\right)$$

Fattorizza il termine comune 2x-5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2x-5\right)\left(x-1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 2x-5=0 e x-1=0.

$$x=\frac{5}{2} x=1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2x^{2}-7x+5=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, -7 a b e 5 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Eleva -7 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-8\times 5}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-40}}{2\times 2}$$

Aggiungi 49 a -40.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 9.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±3}{2\times 2}$$

L'opposto di -7 è 7.

$$x=\frac{7±3}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{7±3}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{7±3}{4} quando ± è più. Aggiungi 7 a 3.

$$x=\frac{10}{4}$$

Riduci la frazione \frac{10}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{5}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{7±3}{4} quando ± è meno. Sottrai 3 da 7.

$$x=\frac{4}{4}$$

Dividi 4 per 4.

$$x=1$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{5}{2} x=1$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-7x+5=0$$

Sottrai 5 da entrambi i lati dell'equazione.

$$2x^{2}-7x+5-5=-5$$

Sottraendo 5 da se stesso rimane 0.

$$2x^{2}-7x=-5$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}-7x}{2}=-\frac{5}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Dividi -\frac{7}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{7}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{7}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{7}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{49}{16}$$

Aggiungi -\frac{5}{2} a \frac{49}{16} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{16}$$

Fattore x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{3}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{3}{4}$$

Aggiungi \frac{7}{4} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{5}{2} x=1$$