Risolvi 2x^2-5x+1=4

$$2 { x }^{ 2 } -5x+1=4$$

Trova x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=3$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 4 da entrambi i lati.

$$2x^{2}-5x+1-4=0$$

Sottrai 4 da 1 per ottenere -3.

$$2x^{2}-5x-3=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 2x^{2}+ax+bx-3. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-5 ab=2\left(-3\right)=-6$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -6.

$$1,-6 2,-3$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

La soluzione è la coppia che restituisce -5 come somma.

$$a=-6 b=1$$

Riscrivi 2x^{2}-5x-3 come \left(2x^{2}-6x\right)+\left(x-3\right).

$$\left(2x^{2}-6x\right)+\left(x-3\right)$$

Scomponi 2x in 2x^{2}-6x.

$$2x\left(x-3\right)+x-3$$

Fattorizza il termine comune x-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-3=0 e 2x+1=0.

$$x=3 x=-\frac{1}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2x^{2}-5x+1=4$$

Sottrai 4 da entrambi i lati dell'equazione.

$$2x^{2}-5x+1-4=4-4$$

Sottraendo 4 da se stesso rimane 0.

$$2x^{2}-5x+1-4=0$$

Sottrai 4 da 1.

$$2x^{2}-5x-3=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, -5 a b e -3 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Eleva -5 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+24}}{2\times 2}$$

Aggiungi 25 a 24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 49.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±7}{2\times 2}$$

L'opposto di -5 è 5.

$$x=\frac{5±7}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{5±7}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{5±7}{4} quando ± è più. Aggiungi 5 a 7.

$$x=\frac{12}{4}$$

Dividi 12 per 4.

$$x=3$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{5±7}{4} quando ± è meno. Sottrai 7 da 5.

$$x=-\frac{2}{4}$$

Riduci la frazione \frac{-2}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=3 x=-\frac{1}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-5x+1=4$$

Sottrai 1 da entrambi i lati dell'equazione.

$$2x^{2}-5x+1-1=4-1$$

Sottraendo 1 da se stesso rimane 0.

$$2x^{2}-5x=4-1$$

Sottrai 1 da 4.

$$2x^{2}-5x=3$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=\frac{3}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{3}{2}$$

Dividi -\frac{5}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{5}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{5}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{5}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{3}{2}+\frac{25}{16}$$

Aggiungi \frac{3}{2} a \frac{25}{16} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{49}{16}$$

Fattore x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{7}{4}$$

Aggiungi \frac{5}{4} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=3 x=-\frac{1}{2}$$