Risolvi 2x^2-11x-40=0

$$2 { x }^{ 2 } -11x-40=0$$

Trova x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=8$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 2x^{2}+ax+bx-40. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-11 ab=2\left(-40\right)=-80$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore di quello positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -80.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

La soluzione è la coppia che restituisce -11 come somma.

$$a=-16 b=5$$

Riscrivi 2x^{2}-11x-40 come \left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right).

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)$$

Fattorizza 2x nel primo e 5 nel secondo gruppo.

$$2x\left(x-8\right)+5\left(x-8\right)$$

Fattorizzare il termine comune x-8 usando la proprietà distributiva.

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi x-8=0 e 2x+5=0.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, -11 a b e -40 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Eleva -11 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per -40.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+320}}{2\times 2}$$

Aggiungi 121 a 320.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 441.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±21}{2\times 2}$$

L'opposto di -11 è 11.

$$x=\frac{11±21}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{11±21}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{11±21}{4} quando ± è più. Aggiungi 11 a 21.

$$x=\frac{32}{4}$$

Dividi 32 per 4.

$$x=8$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{11±21}{4} quando ± è meno. Sottrai 21 da 11.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Riduci la frazione \frac{-10}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Aggiungi 40 a entrambi i lati dell'equazione.

$$2x^{2}-11x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Sottraendo -40 da se stesso rimane 0.

$$2x^{2}-11x=-\left(-40\right)$$

Sottrai -40 da 0.

$$2x^{2}-11x=40$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{40}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{40}{2}$$

Dividi 40 per 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=20$$

Dividi -\frac{11}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{11}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{11}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=20+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{11}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=20+\frac{121}{16}$$

Aggiungi 20 a \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{441}{16}$$

Scomponi x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{21}{4}$$

Aggiungi \frac{11}{4} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$