Risolvi 2x^2+x-6=30

$$2 { x }^{ 2 } +x-6=30$$

Trova x

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4,5$$

$$x=4$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 30 da entrambi i lati.

$$2x^{2}+x-6-30=0$$

Sottrai 30 da -6 per ottenere -36.

$$2x^{2}+x-36=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 2x^{2}+ax+bx-36. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=1 ab=2\left(-36\right)=-72$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 1 come somma.

$$a=-8 b=9$$

Riscrivi 2x^{2}+x-36 come \left(2x^{2}-8x\right)+\left(9x-36\right).

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(9x-36\right)$$

Fattori in 2x nel primo e 9 nel secondo gruppo.

$$2x\left(x-4\right)+9\left(x-4\right)$$

Fattorizza il termine comune x-4 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-4\right)\left(2x+9\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-4=0 e 2x+9=0.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2x^{2}+x-6=30$$

Sottrai 30 da entrambi i lati dell'equazione.

$$2x^{2}+x-6-30=30-30$$

Sottraendo 30 da se stesso rimane 0.

$$2x^{2}+x-6-30=0$$

Sottrai 30 da -6.

$$2x^{2}+x-36=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, 1 a b e -36 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Eleva 1 al quadrato.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per -36.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+288}}{2\times 2}$$

Aggiungi 1 a 288.

$$x=\frac{-1±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 289.

$$x=\frac{-1±17}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{-1±17}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-1±17}{4} quando ± è più. Aggiungi -1 a 17.

$$x=\frac{16}{4}$$

Dividi 16 per 4.

$$x=4$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-1±17}{4} quando ± è meno. Sottrai 17 da -1.

$$x=-\frac{18}{4}$$

Riduci la frazione \frac{-18}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{9}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x-6=30$$

Aggiungi 6 a entrambi i lati dell'equazione.

$$2x^{2}+x-6-\left(-6\right)=30-\left(-6\right)$$

Sottraendo -6 da se stesso rimane 0.

$$2x^{2}+x=30-\left(-6\right)$$

Sottrai -6 da 30.

$$2x^{2}+x=36$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{36}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{36}{2}$$

Dividi 36 per 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=18$$

Dividi \frac{1}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=18+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=18+\frac{1}{16}$$

Aggiungi 18 a \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{289}{16}$$

Fattore x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{289}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{16}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

Sottrai \frac{1}{4} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$