Risolvi 2x^2+x-528=0

$$2 { x }^{ 2 } +x-528=0$$

Trova x

$$x = -\frac{33}{2} = -16\frac{1}{2} = -16,5$$

$$x=16$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 2x^{2}+ax+bx-528. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=1 ab=2\left(-528\right)=-1056$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -1056.

$$-1,1056 -2,528 -3,352 -4,264 -6,176 -8,132 -11,96 -12,88 -16,66 -22,48 -24,44 -32,33$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+1056=1055 -2+528=526 -3+352=349 -4+264=260 -6+176=170 -8+132=124 -11+96=85 -12+88=76 -16+66=50 -22+48=26 -24+44=20 -32+33=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 1 come somma.

$$a=-32 b=33$$

Riscrivi 2x^{2}+x-528 come \left(2x^{2}-32x\right)+\left(33x-528\right).

$$\left(2x^{2}-32x\right)+\left(33x-528\right)$$

Fattori in 2x nel primo e 33 nel secondo gruppo.

$$2x\left(x-16\right)+33\left(x-16\right)$$

Fattorizza il termine comune x-16 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-16\right)\left(2x+33\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-16=0 e 2x+33=0.

$$x=16 x=-\frac{33}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2x^{2}+x-528=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, 1 a b e -528 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-528\right)}}{2\times 2}$$

Eleva 1 al quadrato.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-528\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-528\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per -528.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4224}}{2\times 2}$$

Aggiungi 1 a 4224.

$$x=\frac{-1±\sqrt{4225}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 4225.

$$x=\frac{-1±65}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{-1±65}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-1±65}{4} quando ± è più. Aggiungi -1 a 65.

$$x=\frac{64}{4}$$

Dividi 64 per 4.

$$x=16$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-1±65}{4} quando ± è meno. Sottrai 65 da -1.

$$x=-\frac{66}{4}$$

Riduci la frazione \frac{-66}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{33}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=16 x=-\frac{33}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x-528=0$$

Aggiungi 528 a entrambi i lati dell'equazione.

$$2x^{2}+x-528-\left(-528\right)=-\left(-528\right)$$

Sottraendo -528 da se stesso rimane 0.

$$2x^{2}+x=-\left(-528\right)$$

Sottrai -528 da 0.

$$2x^{2}+x=528$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{528}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{528}{2}$$

Dividi 528 per 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=264$$

Dividi \frac{1}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=264+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=264+\frac{1}{16}$$

Aggiungi 264 a \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{4225}{16}$$

Fattore x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{4225}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4225}{16}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{65}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{65}{4}$$

Sottrai \frac{1}{4} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=16 x=-\frac{33}{2}$$