Risolvi 2x^2+x=6

$$2 { x }^{ 2 } +x=6$$

Trova x

$$x=-2$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 6 da entrambi i lati.

$$2x^{2}+x-6=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 2x^{2}+ax+bx-6. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=1 ab=2\left(-6\right)=-12$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 1 come somma.

$$a=-3 b=4$$

Riscrivi 2x^{2}+x-6 come \left(2x^{2}-3x\right)+\left(4x-6\right).

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(4x-6\right)$$

Fattori in x nel primo e 2 nel secondo gruppo.

$$x\left(2x-3\right)+2\left(2x-3\right)$$

Fattorizza il termine comune 2x-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2x-3\right)\left(x+2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 2x-3=0 e x+2=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-2$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2x^{2}+x=6$$

Sottrai 6 da entrambi i lati dell'equazione.

$$2x^{2}+x-6=6-6$$

Sottraendo 6 da se stesso rimane 0.

$$2x^{2}+x-6=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, 1 a b e -6 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-6\right)}}{2\times 2}$$

Eleva 1 al quadrato.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-6\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-6\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per -6.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+48}}{2\times 2}$$

Aggiungi 1 a 48.

$$x=\frac{-1±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 49.

$$x=\frac{-1±7}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{-1±7}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-1±7}{4} quando ± è più. Aggiungi -1 a 7.

$$x=\frac{6}{4}$$

Riduci la frazione \frac{6}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-1±7}{4} quando ± è meno. Sottrai 7 da -1.

$$x=-\frac{8}{4}$$

Dividi -8 per 4.

$$x=-2$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{3}{2} x=-2$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x=6$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{6}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{6}{2}$$

Dividi 6 per 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=3$$

Dividi \frac{1}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=3+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=3+\frac{1}{16}$$

Aggiungi 3 a \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{16}$$

Fattore x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{7}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{7}{4}$$

Sottrai \frac{1}{4} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{3}{2} x=-2$$