Risolvi 2x^2+5x-168=0

$$2 { x }^{ 2 } +5x-168=0$$

Trova x

$$x = -\frac{21}{2} = -10\frac{1}{2} = -10,5$$

$$x=8$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 2x^{2}+ax+bx-168. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=5 ab=2\left(-168\right)=-336$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -336.

$$-1,336 -2,168 -3,112 -4,84 -6,56 -7,48 -8,42 -12,28 -14,24 -16,21$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+336=335 -2+168=166 -3+112=109 -4+84=80 -6+56=50 -7+48=41 -8+42=34 -12+28=16 -14+24=10 -16+21=5$$

La soluzione è la coppia che restituisce 5 come somma.

$$a=-16 b=21$$

Riscrivi 2x^{2}+5x-168 come \left(2x^{2}-16x\right)+\left(21x-168\right).

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(21x-168\right)$$

Fattori in 2x nel primo e 21 nel secondo gruppo.

$$2x\left(x-8\right)+21\left(x-8\right)$$

Fattorizza il termine comune x-8 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-8\right)\left(2x+21\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-8=0 e 2x+21=0.

$$x=8 x=-\frac{21}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2x^{2}+5x-168=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, 5 a b e -168 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-168\right)}}{2\times 2}$$

Eleva 5 al quadrato.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-168\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-168\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per -168.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1344}}{2\times 2}$$

Aggiungi 25 a 1344.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1369}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 1369.

$$x=\frac{-5±37}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{-5±37}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-5±37}{4} quando ± è più. Aggiungi -5 a 37.

$$x=\frac{32}{4}$$

Dividi 32 per 4.

$$x=8$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-5±37}{4} quando ± è meno. Sottrai 37 da -5.

$$x=-\frac{42}{4}$$

Riduci la frazione \frac{-42}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{21}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=8 x=-\frac{21}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+5x-168=0$$

Aggiungi 168 a entrambi i lati dell'equazione.

$$2x^{2}+5x-168-\left(-168\right)=-\left(-168\right)$$

Sottraendo -168 da se stesso rimane 0.

$$2x^{2}+5x=-\left(-168\right)$$

Sottrai -168 da 0.

$$2x^{2}+5x=168$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{168}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{168}{2}$$

Dividi 168 per 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=84$$

Dividi \frac{5}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{5}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{5}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=84+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{5}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=84+\frac{25}{16}$$

Aggiungi 84 a \frac{25}{16}.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{1369}{16}$$

Fattore x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{1369}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1369}{16}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{37}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{37}{4}$$

Sottrai \frac{5}{4} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=8 x=-\frac{21}{2}$$