Risolvi 18x^2-9x-5=0

$$18 { x }^{ 2 } -9x-5 = 0$$

Trova x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0,833333333$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 18x^{2}+ax+bx-5. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

La soluzione è la coppia che restituisce -9 come somma.

$$a=-15 b=6$$

Riscrivi 18x^{2}-9x-5 come \left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right).

$$\left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)$$

Scomponi 3x in 18x^{2}-15x.

$$3x\left(6x-5\right)+6x-5$$

Fattorizza il termine comune 6x-5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(6x-5\right)\left(3x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 6x-5=0 e 3x+1=0.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 18 a a, -9 a b e -5 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Eleva -9 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Moltiplica -4 per 18.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Moltiplica -72 per -5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

Aggiungi 81 a 360.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

Calcola la radice quadrata di 441.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

L'opposto di -9 è 9.

$$x=\frac{9±21}{2\times 18}$$

Moltiplica 2 per 18.

$$x=\frac{9±21}{36}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{9±21}{36} quando ± è più. Aggiungi 9 a 21.

$$x=\frac{30}{36}$$

Riduci la frazione \frac{30}{36} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$x=\frac{5}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{9±21}{36} quando ± è meno. Sottrai 21 da 9.

$$x=-\frac{12}{36}$$

Riduci la frazione \frac{-12}{36} ai minimi termini estraendo e annullando 12.

$$x=-\frac{1}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Aggiungi 5 a entrambi i lati dell'equazione.

$$18x^{2}-9x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Sottraendo -5 da se stesso rimane 0.

$$18x^{2}-9x=-\left(-5\right)$$

Sottrai -5 da 0.

$$18x^{2}-9x=5$$

Dividi entrambi i lati per 18.

$$\frac{18x^{2}-9x}{18}=\frac{5}{18}$$

La divisione per 18 annulla la moltiplicazione per 18.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{18}\right)x=\frac{5}{18}$$

Riduci la frazione \frac{-9}{18} ai minimi termini estraendo e annullando 9.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{5}{18}$$

Dividi -\frac{1}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{18}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{18}+\frac{1}{16}$$

Aggiungi \frac{5}{18} a \frac{1}{16} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{144}$$

Fattore x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{1}{4}=-\frac{7}{12}$$

Aggiungi \frac{1}{4} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$