Risolvi 17=22t-5t^2

$$17 = 22 t - 5 t ^ { 2 }$$

Trova t

$$t=1$$

$$t = \frac{17}{5} = 3\frac{2}{5} = 3,4$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Scambia i lati in modo che i termini variabili si trovino sul lato sinistro.

$$22t-5t^{2}=17$$

Sottrai 17 da entrambi i lati.

$$22t-5t^{2}-17=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-5t^{2}+22t-17=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -5t^{2}+at+bt-17. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=22 ab=-5\left(-17\right)=85$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 85.

$$1,85 5,17$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+85=86 5+17=22$$

La soluzione è la coppia che restituisce 22 come somma.

$$a=17 b=5$$

Riscrivi -5t^{2}+22t-17 come \left(-5t^{2}+17t\right)+\left(5t-17\right).

$$\left(-5t^{2}+17t\right)+\left(5t-17\right)$$

Scomponi -t in -5t^{2}+17t.

$$-t\left(5t-17\right)+5t-17$$

Fattorizza il termine comune 5t-17 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(5t-17\right)\left(-t+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 5t-17=0 e -t+1=0.

$$t=\frac{17}{5} t=1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Scambia i lati in modo che i termini variabili si trovino sul lato sinistro.

$$22t-5t^{2}=17$$

Sottrai 17 da entrambi i lati.

$$22t-5t^{2}-17=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-5t^{2}+22t-17=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -5 a a, 22 a b e -17 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\left(-5\right)\left(-17\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Eleva 22 al quadrato.

$$t=\frac{-22±\sqrt{484-4\left(-5\right)\left(-17\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Moltiplica -4 per -5.

$$t=\frac{-22±\sqrt{484+20\left(-17\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Moltiplica 20 per -17.

$$t=\frac{-22±\sqrt{484-340}}{2\left(-5\right)}$$

Aggiungi 484 a -340.

$$t=\frac{-22±\sqrt{144}}{2\left(-5\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 144.

$$t=\frac{-22±12}{2\left(-5\right)}$$

Moltiplica 2 per -5.

$$t=\frac{-22±12}{-10}$$

Ora risolvi l'equazione t=\frac{-22±12}{-10} quando ± è più. Aggiungi -22 a 12.

$$t=-\frac{10}{-10}$$

Dividi -10 per -10.

$$t=1$$

Ora risolvi l'equazione t=\frac{-22±12}{-10} quando ± è meno. Sottrai 12 da -22.

$$t=-\frac{34}{-10}$$

Riduci la frazione \frac{-34}{-10} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$t=\frac{17}{5}$$

L'equazione è stata risolta.

$$t=1 t=\frac{17}{5}$$

Procedura per completare il quadrato

Scambia i lati in modo che i termini variabili si trovino sul lato sinistro.

$$22t-5t^{2}=17$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-5t^{2}+22t=17$$

Dividi entrambi i lati per -5.

$$\frac{-5t^{2}+22t}{-5}=\frac{17}{-5}$$

La divisione per -5 annulla la moltiplicazione per -5.

$$t^{2}+\frac{22}{-5}t=\frac{17}{-5}$$

Dividi 22 per -5.

$$t^{2}-\frac{22}{5}t=\frac{17}{-5}$$

Dividi 17 per -5.

$$t^{2}-\frac{22}{5}t=-\frac{17}{5}$$

Dividi -\frac{22}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{11}{5}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{11}{5} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$t^{2}-\frac{22}{5}t+\left(-\frac{11}{5}\right)^{2}=-\frac{17}{5}+\left(-\frac{11}{5}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{11}{5} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$t^{2}-\frac{22}{5}t+\frac{121}{25}=-\frac{17}{5}+\frac{121}{25}$$

Aggiungi -\frac{17}{5} a \frac{121}{25} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$t^{2}-\frac{22}{5}t+\frac{121}{25}=\frac{36}{25}$$

Fattore t^{2}-\frac{22}{5}t+\frac{121}{25}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{11}{5}\right)^{2}=\frac{36}{25}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(t-\frac{11}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{36}{25}}$$

Semplifica.

$$t-\frac{11}{5}=\frac{6}{5} t-\frac{11}{5}=-\frac{6}{5}$$

Aggiungi \frac{11}{5} a entrambi i lati dell'equazione.

$$t=\frac{17}{5} t=1$$