Risolvi 16+x^2+left(4-xright)^2+16={left(4sqrt{5}right)}^2

$$16+ { x }^{ 2 } + { \left(4-x \right) }^{ 2 } +16= { \left(4 \sqrt{ 5 } \right) }^{ 2 }$$

Trova x

$$x=2\sqrt{5}+2\approx 6,472135955$$

$$x=2-2\sqrt{5}\approx -2,472135955$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(4-x\right)^{2}.

$$16+x^{2}+16-8x+x^{2}+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

E 16 e 16 per ottenere 32.

$$32+x^{2}-8x+x^{2}+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

Combina x^{2} e x^{2} per ottenere 2x^{2}.

$$32+2x^{2}-8x+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

E 32 e 16 per ottenere 48.

$$48+2x^{2}-8x=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

Espandi \left(4\sqrt{5}\right)^{2}.

$$48+2x^{2}-8x=4^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}$$

Calcola 4 alla potenza di 2 e ottieni 16.

$$48+2x^{2}-8x=16\left(\sqrt{5}\right)^{2}$$

Il quadrato di \sqrt{5} è 5.

$$48+2x^{2}-8x=16\times 5$$

Moltiplica 16 e 5 per ottenere 80.

$$48+2x^{2}-8x=80$$

Sottrai 80 da entrambi i lati.

$$48+2x^{2}-8x-80=0$$

Sottrai 80 da 48 per ottenere -32.

$$-32+2x^{2}-8x=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$2x^{2}-8x-32=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, -8 a b e -32 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 2\left(-32\right)}}{2\times 2}$$

Eleva -8 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 2\left(-32\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-8\left(-32\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per -32.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+256}}{2\times 2}$$

Aggiungi 64 a 256.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{320}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 320.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±8\sqrt{5}}{2\times 2}$$

L'opposto di -8 è 8.

$$x=\frac{8±8\sqrt{5}}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{8±8\sqrt{5}}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{8±8\sqrt{5}}{4} quando ± è più. Aggiungi 8 a 8\sqrt{5}.

$$x=\frac{8\sqrt{5}+8}{4}$$

Dividi 8+8\sqrt{5} per 4.

$$x=2\sqrt{5}+2$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{8±8\sqrt{5}}{4} quando ± è meno. Sottrai 8\sqrt{5} da 8.

$$x=\frac{8-8\sqrt{5}}{4}$$

Dividi 8-8\sqrt{5} per 4.

$$x=2-2\sqrt{5}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=2\sqrt{5}+2 x=2-2\sqrt{5}$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(4-x\right)^{2}.

$$16+x^{2}+16-8x+x^{2}+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

E 16 e 16 per ottenere 32.

$$32+x^{2}-8x+x^{2}+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

Combina x^{2} e x^{2} per ottenere 2x^{2}.

$$32+2x^{2}-8x+16=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

E 32 e 16 per ottenere 48.

$$48+2x^{2}-8x=\left(4\sqrt{5}\right)^{2}$$

Espandi \left(4\sqrt{5}\right)^{2}.

$$48+2x^{2}-8x=4^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}$$

Calcola 4 alla potenza di 2 e ottieni 16.

$$48+2x^{2}-8x=16\left(\sqrt{5}\right)^{2}$$

Il quadrato di \sqrt{5} è 5.

$$48+2x^{2}-8x=16\times 5$$

Moltiplica 16 e 5 per ottenere 80.

$$48+2x^{2}-8x=80$$

Sottrai 48 da entrambi i lati.

$$2x^{2}-8x=80-48$$

Sottrai 48 da 80 per ottenere 32.

$$2x^{2}-8x=32$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}-8x}{2}=\frac{32}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{2}\right)x=\frac{32}{2}$$

Dividi -8 per 2.

$$x^{2}-4x=\frac{32}{2}$$

Dividi 32 per 2.

$$x^{2}-4x=16$$

Dividi -4, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -2. Quindi aggiungi il quadrato di -2 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=16+\left(-2\right)^{2}$$

Eleva -2 al quadrato.

$$x^{2}-4x+4=16+4$$

Aggiungi 16 a 4.

$$x^{2}-4x+4=20$$

Fattore x^{2}-4x+4. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=20$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{20}$$

Semplifica.

$$x-2=2\sqrt{5} x-2=-2\sqrt{5}$$

Aggiungi 2 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=2\sqrt{5}+2 x=2-2\sqrt{5}$$