Risolvi 16x^2-64x+65=0

$$16 x ^ { 2 } - 64 x + 65 = 0$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=2+\frac{1}{4}i=2+0,25i$$

$$x=2-\frac{1}{4}i=2-0,25i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$16x^{2}-64x+65=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 16 a a, -64 a b e 65 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{\left(-64\right)^{2}-4\times 16\times 65}}{2\times 16}$$

Eleva -64 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-4\times 16\times 65}}{2\times 16}$$

Moltiplica -4 per 16.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-64\times 65}}{2\times 16}$$

Moltiplica -64 per 65.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-4160}}{2\times 16}$$

Aggiungi 4096 a -4160.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{-64}}{2\times 16}$$

Calcola la radice quadrata di -64.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±8i}{2\times 16}$$

L'opposto di -64 è 64.

$$x=\frac{64±8i}{2\times 16}$$

Moltiplica 2 per 16.

$$x=\frac{64±8i}{32}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{64±8i}{32} quando ± è più. Aggiungi 64 a 8i.

$$x=\frac{64+8i}{32}$$

Dividi 64+8i per 32.

$$x=2+\frac{1}{4}i$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{64±8i}{32} quando ± è meno. Sottrai 8i da 64.

$$x=\frac{64-8i}{32}$$

Dividi 64-8i per 32.

$$x=2-\frac{1}{4}i$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=2+\frac{1}{4}i x=2-\frac{1}{4}i$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}-64x+65=0$$

Sottrai 65 da entrambi i lati dell'equazione.

$$16x^{2}-64x+65-65=-65$$

Sottraendo 65 da se stesso rimane 0.

$$16x^{2}-64x=-65$$

Dividi entrambi i lati per 16.

$$\frac{16x^{2}-64x}{16}=-\frac{65}{16}$$

La divisione per 16 annulla la moltiplicazione per 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{64}{16}\right)x=-\frac{65}{16}$$

Dividi -64 per 16.

$$x^{2}-4x=-\frac{65}{16}$$

Dividi -4, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -2. Quindi aggiungi il quadrato di -2 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-\frac{65}{16}+\left(-2\right)^{2}$$

Eleva -2 al quadrato.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{65}{16}+4$$

Aggiungi -\frac{65}{16} a 4.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{1}{16}$$

Fattore x^{2}-4x+4. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=-\frac{1}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{16}}$$

Semplifica.

$$x-2=\frac{1}{4}i x-2=-\frac{1}{4}i$$

Aggiungi 2 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=2+\frac{1}{4}i x=2-\frac{1}{4}i$$