Risolvi 16x^2+8x-3=0

$$16 x ^ { 2 } + 8 x - 3 = 0$$

Trova x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 16x^{2}+ax+bx-3. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=8 ab=16\left(-3\right)=-48$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

La soluzione è la coppia che restituisce 8 come somma.

$$a=-4 b=12$$

Riscrivi 16x^{2}+8x-3 come \left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right).

$$\left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right)$$

Fattori in 4x nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$4x\left(4x-1\right)+3\left(4x-1\right)$$

Fattorizza il termine comune 4x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(4x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 4x-1=0 e 4x+3=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$16x^{2}+8x-3=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 16 a a, 8 a b e -3 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Eleva 8 al quadrato.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Moltiplica -4 per 16.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-64\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Moltiplica -64 per -3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+192}}{2\times 16}$$

Aggiungi 64 a 192.

$$x=\frac{-8±\sqrt{256}}{2\times 16}$$

Calcola la radice quadrata di 256.

$$x=\frac{-8±16}{2\times 16}$$

Moltiplica 2 per 16.

$$x=\frac{-8±16}{32}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-8±16}{32} quando ± è più. Aggiungi -8 a 16.

$$x=\frac{8}{32}$$

Riduci la frazione \frac{8}{32} ai minimi termini estraendo e annullando 8.

$$x=\frac{1}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-8±16}{32} quando ± è meno. Sottrai 16 da -8.

$$x=-\frac{24}{32}$$

Riduci la frazione \frac{-24}{32} ai minimi termini estraendo e annullando 8.

$$x=-\frac{3}{4}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+8x-3=0$$

Aggiungi 3 a entrambi i lati dell'equazione.

$$16x^{2}+8x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Sottraendo -3 da se stesso rimane 0.

$$16x^{2}+8x=-\left(-3\right)$$

Sottrai -3 da 0.

$$16x^{2}+8x=3$$

Dividi entrambi i lati per 16.

$$\frac{16x^{2}+8x}{16}=\frac{3}{16}$$

La divisione per 16 annulla la moltiplicazione per 16.

$$x^{2}+\frac{8}{16}x=\frac{3}{16}$$

Riduci la frazione \frac{8}{16} ai minimi termini estraendo e annullando 8.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{3}{16}$$

Dividi \frac{1}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{3}{16}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{3+1}{16}$$

Aggiungi \frac{3}{16} a \frac{1}{16} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}$$

Fattore x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2} x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}$$

Sottrai \frac{1}{4} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$