Risolvi 16x^2+10x-9=0

$$16 x ^ { 2 } + 10 x - 9 = 0$$

Trova x

$$x = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8} = -1,125$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 16x^{2}+ax+bx-9. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=10 ab=16\left(-9\right)=-144$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

La soluzione è la coppia che restituisce 10 come somma.

$$a=-8 b=18$$

Riscrivi 16x^{2}+10x-9 come \left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right).

$$\left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right)$$

Fattori in 8x nel primo e 9 nel secondo gruppo.

$$8x\left(2x-1\right)+9\left(2x-1\right)$$

Fattorizza il termine comune 2x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 2x-1=0 e 8x+9=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 16 a a, 10 a b e -9 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Eleva 10 al quadrato.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Moltiplica -4 per 16.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-64\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Moltiplica -64 per -9.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+576}}{2\times 16}$$

Aggiungi 100 a 576.

$$x=\frac{-10±\sqrt{676}}{2\times 16}$$

Calcola la radice quadrata di 676.

$$x=\frac{-10±26}{2\times 16}$$

Moltiplica 2 per 16.

$$x=\frac{-10±26}{32}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-10±26}{32} quando ± è più. Aggiungi -10 a 26.

$$x=\frac{16}{32}$$

Riduci la frazione \frac{16}{32} ai minimi termini estraendo e annullando 16.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-10±26}{32} quando ± è meno. Sottrai 26 da -10.

$$x=-\frac{36}{32}$$

Riduci la frazione \frac{-36}{32} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=-\frac{9}{8}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Aggiungi 9 a entrambi i lati dell'equazione.

$$16x^{2}+10x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Sottraendo -9 da se stesso rimane 0.

$$16x^{2}+10x=-\left(-9\right)$$

Sottrai -9 da 0.

$$16x^{2}+10x=9$$

Dividi entrambi i lati per 16.

$$\frac{16x^{2}+10x}{16}=\frac{9}{16}$$

La divisione per 16 annulla la moltiplicazione per 16.

$$x^{2}+\frac{10}{16}x=\frac{9}{16}$$

Riduci la frazione \frac{10}{16} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x=\frac{9}{16}$$

Dividi \frac{5}{8}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{5}{16}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{5}{16} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{9}{16}+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}$$

Eleva \frac{5}{16} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{9}{16}+\frac{25}{256}$$

Aggiungi \frac{9}{16} a \frac{25}{256} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{169}{256}$$

Fattore x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{169}{256}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{256}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{5}{16}=\frac{13}{16} x+\frac{5}{16}=-\frac{13}{16}$$

Sottrai \frac{5}{16} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$