Risolvi 16a^2+21a+9=6a^2

$$16 a ^ { 2 } + 21 a + 9 = 6 a ^ { 2 }$$

Trova a

$$a=-\frac{3}{5}=-0,6$$

$$a = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 6a^{2} da entrambi i lati.

$$16a^{2}+21a+9-6a^{2}=0$$

Combina 16a^{2} e -6a^{2} per ottenere 10a^{2}.

$$10a^{2}+21a+9=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 10a^{2}+aa+ba+9. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=21 ab=10\times 9=90$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 90.

$$1,90 2,45 3,30 5,18 6,15 9,10$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+90=91 2+45=47 3+30=33 5+18=23 6+15=21 9+10=19$$

La soluzione è la coppia che restituisce 21 come somma.

$$a=6 b=15$$

Riscrivi 10a^{2}+21a+9 come \left(10a^{2}+6a\right)+\left(15a+9\right).

$$\left(10a^{2}+6a\right)+\left(15a+9\right)$$

Fattori in 2a nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$2a\left(5a+3\right)+3\left(5a+3\right)$$

Fattorizza il termine comune 5a+3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(5a+3\right)\left(2a+3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 5a+3=0 e 2a+3=0.

$$a=-\frac{3}{5} a=-\frac{3}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Sottrai 6a^{2} da entrambi i lati.

$$16a^{2}+21a+9-6a^{2}=0$$

Combina 16a^{2} e -6a^{2} per ottenere 10a^{2}.

$$10a^{2}+21a+9=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 10 a a, 21 a b e 9 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 10\times 9}}{2\times 10}$$

Eleva 21 al quadrato.

$$a=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 10\times 9}}{2\times 10}$$

Moltiplica -4 per 10.

$$a=\frac{-21±\sqrt{441-40\times 9}}{2\times 10}$$

Moltiplica -40 per 9.

$$a=\frac{-21±\sqrt{441-360}}{2\times 10}$$

Aggiungi 441 a -360.

$$a=\frac{-21±\sqrt{81}}{2\times 10}$$

Calcola la radice quadrata di 81.

$$a=\frac{-21±9}{2\times 10}$$

Moltiplica 2 per 10.

$$a=\frac{-21±9}{20}$$

Ora risolvi l'equazione a=\frac{-21±9}{20} quando ± è più. Aggiungi -21 a 9.

$$a=-\frac{12}{20}$$

Riduci la frazione \frac{-12}{20} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$a=-\frac{3}{5}$$

Ora risolvi l'equazione a=\frac{-21±9}{20} quando ± è meno. Sottrai 9 da -21.

$$a=-\frac{30}{20}$$

Riduci la frazione \frac{-30}{20} ai minimi termini estraendo e annullando 10.

$$a=-\frac{3}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$a=-\frac{3}{5} a=-\frac{3}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Sottrai 6a^{2} da entrambi i lati.

$$16a^{2}+21a+9-6a^{2}=0$$

Combina 16a^{2} e -6a^{2} per ottenere 10a^{2}.

$$10a^{2}+21a+9=0$$

Sottrai 9 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$10a^{2}+21a=-9$$

Dividi entrambi i lati per 10.

$$\frac{10a^{2}+21a}{10}=-\frac{9}{10}$$

La divisione per 10 annulla la moltiplicazione per 10.

$$a^{2}+\frac{21}{10}a=-\frac{9}{10}$$

Dividi \frac{21}{10}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{21}{20}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{21}{20} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$a^{2}+\frac{21}{10}a+\left(\frac{21}{20}\right)^{2}=-\frac{9}{10}+\left(\frac{21}{20}\right)^{2}$$

Eleva \frac{21}{20} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$a^{2}+\frac{21}{10}a+\frac{441}{400}=-\frac{9}{10}+\frac{441}{400}$$

Aggiungi -\frac{9}{10} a \frac{441}{400} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$a^{2}+\frac{21}{10}a+\frac{441}{400}=\frac{81}{400}$$

Fattore a^{2}+\frac{21}{10}a+\frac{441}{400}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a+\frac{21}{20}\right)^{2}=\frac{81}{400}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(a+\frac{21}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{400}}$$

Semplifica.

$$a+\frac{21}{20}=\frac{9}{20} a+\frac{21}{20}=-\frac{9}{20}$$

Sottrai \frac{21}{20} da entrambi i lati dell'equazione.

$$a=-\frac{3}{5} a=-\frac{3}{2}$$