Risolvi 16*p^2=(1-p)^2

$$16 \cdot p ^ { 2 } = ( 1 - p ) ^ { 2 }$$

Trova p

$$p=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$p=\frac{1}{5}=0,2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(1-p\right)^{2}.

$$16p^{2}=1-2p+p^{2}$$

Sottrai 1 da entrambi i lati.

$$16p^{2}-1=-2p+p^{2}$$

Aggiungi 2p a entrambi i lati.

$$16p^{2}-1+2p=p^{2}$$

Sottrai p^{2} da entrambi i lati.

$$16p^{2}-1+2p-p^{2}=0$$

Combina 16p^{2} e -p^{2} per ottenere 15p^{2}.

$$15p^{2}-1+2p=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$15p^{2}+2p-1=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 15p^{2}+ap+bp-1. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=2 ab=15\left(-1\right)=-15$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -15.

$$-1,15 -3,5$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

La soluzione è la coppia che restituisce 2 come somma.

$$a=-3 b=5$$

Riscrivi 15p^{2}+2p-1 come \left(15p^{2}-3p\right)+\left(5p-1\right).

$$\left(15p^{2}-3p\right)+\left(5p-1\right)$$

Scomponi 3p in 15p^{2}-3p.

$$3p\left(5p-1\right)+5p-1$$

Fattorizza il termine comune 5p-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(5p-1\right)\left(3p+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 5p-1=0 e 3p+1=0.

$$p=\frac{1}{5} p=-\frac{1}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(1-p\right)^{2}.

$$16p^{2}=1-2p+p^{2}$$

Sottrai 1 da entrambi i lati.

$$16p^{2}-1=-2p+p^{2}$$

Aggiungi 2p a entrambi i lati.

$$16p^{2}-1+2p=p^{2}$$

Sottrai p^{2} da entrambi i lati.

$$16p^{2}-1+2p-p^{2}=0$$

Combina 16p^{2} e -p^{2} per ottenere 15p^{2}.

$$15p^{2}-1+2p=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$15p^{2}+2p-1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 15 a a, 2 a b e -1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 15\left(-1\right)}}{2\times 15}$$

Eleva 2 al quadrato.

$$p=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 15\left(-1\right)}}{2\times 15}$$

Moltiplica -4 per 15.

$$p=\frac{-2±\sqrt{4-60\left(-1\right)}}{2\times 15}$$

Moltiplica -60 per -1.

$$p=\frac{-2±\sqrt{4+60}}{2\times 15}$$

Aggiungi 4 a 60.

$$p=\frac{-2±\sqrt{64}}{2\times 15}$$

Calcola la radice quadrata di 64.

$$p=\frac{-2±8}{2\times 15}$$

Moltiplica 2 per 15.

$$p=\frac{-2±8}{30}$$

Ora risolvi l'equazione p=\frac{-2±8}{30} quando ± è più. Aggiungi -2 a 8.

$$p=\frac{6}{30}$$

Riduci la frazione \frac{6}{30} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$p=\frac{1}{5}$$

Ora risolvi l'equazione p=\frac{-2±8}{30} quando ± è meno. Sottrai 8 da -2.

$$p=-\frac{10}{30}$$

Riduci la frazione \frac{-10}{30} ai minimi termini estraendo e annullando 10.

$$p=-\frac{1}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$p=\frac{1}{5} p=-\frac{1}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(1-p\right)^{2}.

$$16p^{2}=1-2p+p^{2}$$

Aggiungi 2p a entrambi i lati.

$$16p^{2}+2p=1+p^{2}$$

Sottrai p^{2} da entrambi i lati.

$$16p^{2}+2p-p^{2}=1$$

Combina 16p^{2} e -p^{2} per ottenere 15p^{2}.

$$15p^{2}+2p=1$$

Dividi entrambi i lati per 15.

$$\frac{15p^{2}+2p}{15}=\frac{1}{15}$$

La divisione per 15 annulla la moltiplicazione per 15.

$$p^{2}+\frac{2}{15}p=\frac{1}{15}$$

Dividi \frac{2}{15}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{15}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{15} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$p^{2}+\frac{2}{15}p+\left(\frac{1}{15}\right)^{2}=\frac{1}{15}+\left(\frac{1}{15}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{15} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$p^{2}+\frac{2}{15}p+\frac{1}{225}=\frac{1}{15}+\frac{1}{225}$$

Aggiungi \frac{1}{15} a \frac{1}{225} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$p^{2}+\frac{2}{15}p+\frac{1}{225}=\frac{16}{225}$$

Fattore p^{2}+\frac{2}{15}p+\frac{1}{225}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p+\frac{1}{15}\right)^{2}=\frac{16}{225}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(p+\frac{1}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{225}}$$

Semplifica.

$$p+\frac{1}{15}=\frac{4}{15} p+\frac{1}{15}=-\frac{4}{15}$$

Sottrai \frac{1}{15} da entrambi i lati dell'equazione.

$$p=\frac{1}{5} p=-\frac{1}{3}$$