Risolvi 15+26x+8x^2=0

$$15+26x+8 { x }^{ 2 } =0$$

Trova x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$8x^{2}+26x+15=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 8x^{2}+ax+bx+15. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=26 ab=8\times 15=120$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 120.

$$1,120 2,60 3,40 4,30 5,24 6,20 8,15 10,12$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+120=121 2+60=62 3+40=43 4+30=34 5+24=29 6+20=26 8+15=23 10+12=22$$

La soluzione è la coppia che restituisce 26 come somma.

$$a=6 b=20$$

Riscrivi 8x^{2}+26x+15 come \left(8x^{2}+6x\right)+\left(20x+15\right).

$$\left(8x^{2}+6x\right)+\left(20x+15\right)$$

Fattori in 2x nel primo e 5 nel secondo gruppo.

$$2x\left(4x+3\right)+5\left(4x+3\right)$$

Fattorizza il termine comune 4x+3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(4x+3\right)\left(2x+5\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 4x+3=0 e 2x+5=0.

$$x=-\frac{3}{4} x=-\frac{5}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$8x^{2}+26x+15=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 8 a a, 26 a b e 15 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-26±\sqrt{26^{2}-4\times 8\times 15}}{2\times 8}$$

Eleva 26 al quadrato.

$$x=\frac{-26±\sqrt{676-4\times 8\times 15}}{2\times 8}$$

Moltiplica -4 per 8.

$$x=\frac{-26±\sqrt{676-32\times 15}}{2\times 8}$$

Moltiplica -32 per 15.

$$x=\frac{-26±\sqrt{676-480}}{2\times 8}$$

Aggiungi 676 a -480.

$$x=\frac{-26±\sqrt{196}}{2\times 8}$$

Calcola la radice quadrata di 196.

$$x=\frac{-26±14}{2\times 8}$$

Moltiplica 2 per 8.

$$x=\frac{-26±14}{16}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-26±14}{16} quando ± è più. Aggiungi -26 a 14.

$$x=-\frac{12}{16}$$

Riduci la frazione \frac{-12}{16} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-26±14}{16} quando ± è meno. Sottrai 14 da -26.

$$x=-\frac{40}{16}$$

Riduci la frazione \frac{-40}{16} ai minimi termini estraendo e annullando 8.

$$x=-\frac{5}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{3}{4} x=-\frac{5}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+26x+15=0$$

Sottrai 15 da entrambi i lati dell'equazione.

$$8x^{2}+26x+15-15=-15$$

Sottraendo 15 da se stesso rimane 0.

$$8x^{2}+26x=-15$$

Dividi entrambi i lati per 8.

$$\frac{8x^{2}+26x}{8}=-\frac{15}{8}$$

La divisione per 8 annulla la moltiplicazione per 8.

$$x^{2}+\frac{26}{8}x=-\frac{15}{8}$$

Riduci la frazione \frac{26}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}+\frac{13}{4}x=-\frac{15}{8}$$

Dividi \frac{13}{4}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{13}{8}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{13}{8} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{13}{4}x+\left(\frac{13}{8}\right)^{2}=-\frac{15}{8}+\left(\frac{13}{8}\right)^{2}$$

Eleva \frac{13}{8} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{13}{4}x+\frac{169}{64}=-\frac{15}{8}+\frac{169}{64}$$

Aggiungi -\frac{15}{8} a \frac{169}{64} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{13}{4}x+\frac{169}{64}=\frac{49}{64}$$

Fattore x^{2}+\frac{13}{4}x+\frac{169}{64}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{13}{8}=\frac{7}{8} x+\frac{13}{8}=-\frac{7}{8}$$

Sottrai \frac{13}{8} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-\frac{3}{4} x=-\frac{5}{2}$$