Risolvi 15z^2+2z-8

$$15 z ^ { 2 } + 2 z - 8$$

Scomponi in fattori

$$\left(3z-2\right)\left(5z+4\right)$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 15z^{2}+az+bz-8. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=2 ab=15\left(-8\right)=-120$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

La soluzione è la coppia che restituisce 2 come somma.

$$a=-10 b=12$$

Riscrivi 15z^{2}+2z-8 come \left(15z^{2}-10z\right)+\left(12z-8\right).

$$\left(15z^{2}-10z\right)+\left(12z-8\right)$$

Fattori in 5z nel primo e 4 nel secondo gruppo.

$$5z\left(3z-2\right)+4\left(3z-2\right)$$

Fattorizza il termine comune 3z-2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3z-2\right)\left(5z+4\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$15z^{2}+2z-8=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$z=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 15\left(-8\right)}}{2\times 15}$$

Eleva 2 al quadrato.

$$z=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 15\left(-8\right)}}{2\times 15}$$

Moltiplica -4 per 15.

$$z=\frac{-2±\sqrt{4-60\left(-8\right)}}{2\times 15}$$

Moltiplica -60 per -8.

$$z=\frac{-2±\sqrt{4+480}}{2\times 15}$$

Aggiungi 4 a 480.

$$z=\frac{-2±\sqrt{484}}{2\times 15}$$

Calcola la radice quadrata di 484.

$$z=\frac{-2±22}{2\times 15}$$

Moltiplica 2 per 15.

$$z=\frac{-2±22}{30}$$

Ora risolvi l'equazione z=\frac{-2±22}{30} quando ± è più. Aggiungi -2 a 22.

$$z=\frac{20}{30}$$

Riduci la frazione \frac{20}{30} ai minimi termini estraendo e annullando 10.

$$z=\frac{2}{3}$$

Ora risolvi l'equazione z=\frac{-2±22}{30} quando ± è meno. Sottrai 22 da -2.

$$z=-\frac{24}{30}$$

Riduci la frazione \frac{-24}{30} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$z=-\frac{4}{5}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con \frac{2}{3} e x_{2} con -\frac{4}{5}.

$$15z^{2}+2z-8=15\left(z-\frac{2}{3}\right)\left(z-\left(-\frac{4}{5}\right)\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$15z^{2}+2z-8=15\left(z-\frac{2}{3}\right)\left(z+\frac{4}{5}\right)$$

Sottrai \frac{2}{3} da z trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$15z^{2}+2z-8=15\times \frac{3z-2}{3}\left(z+\frac{4}{5}\right)$$

Aggiungi \frac{4}{5} a z trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$15z^{2}+2z-8=15\times \frac{3z-2}{3}\times \frac{5z+4}{5}$$

Moltiplica \frac{3z-2}{3} per \frac{5z+4}{5} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$15z^{2}+2z-8=15\times \frac{\left(3z-2\right)\left(5z+4\right)}{3\times 5}$$

Moltiplica 3 per 5.

$$15z^{2}+2z-8=15\times \frac{\left(3z-2\right)\left(5z+4\right)}{15}$$

Annulla il massimo comune divisore 15 in 15 e 15.

$$15z^{2}+2z-8=\left(3z-2\right)\left(5z+4\right)$$

Calcola

$$\left(3z-2\right)\left(5z+4\right)$$