Risolvi 15y^2+8y+1=0

$$15 y ^ { 2 } + 8 y + 1 = 0$$

Trova y

$$y=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 15y^{2}+ay+by+1. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=8 ab=15\times 1=15$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 15.

$$1,15 3,5$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+15=16 3+5=8$$

La soluzione è la coppia che restituisce 8 come somma.

$$a=3 b=5$$

Riscrivi 15y^{2}+8y+1 come \left(15y^{2}+3y\right)+\left(5y+1\right).

$$\left(15y^{2}+3y\right)+\left(5y+1\right)$$

Scomponi 3y in 15y^{2}+3y.

$$3y\left(5y+1\right)+5y+1$$

Fattorizza il termine comune 5y+1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(5y+1\right)\left(3y+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 5y+1=0 e 3y+1=0.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$15y^{2}+8y+1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 15 a a, 8 a b e 1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 15}}{2\times 15}$$

Eleva 8 al quadrato.

$$y=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 15}}{2\times 15}$$

Moltiplica -4 per 15.

$$y=\frac{-8±\sqrt{64-60}}{2\times 15}$$

Aggiungi 64 a -60.

$$y=\frac{-8±\sqrt{4}}{2\times 15}$$

Calcola la radice quadrata di 4.

$$y=\frac{-8±2}{2\times 15}$$

Moltiplica 2 per 15.

$$y=\frac{-8±2}{30}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{-8±2}{30} quando ± è più. Aggiungi -8 a 2.

$$y=-\frac{6}{30}$$

Riduci la frazione \frac{-6}{30} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$y=-\frac{1}{5}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{-8±2}{30} quando ± è meno. Sottrai 2 da -8.

$$y=-\frac{10}{30}$$

Riduci la frazione \frac{-10}{30} ai minimi termini estraendo e annullando 10.

$$y=-\frac{1}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$15y^{2}+8y+1=0$$

Sottrai 1 da entrambi i lati dell'equazione.

$$15y^{2}+8y+1-1=-1$$

Sottraendo 1 da se stesso rimane 0.

$$15y^{2}+8y=-1$$

Dividi entrambi i lati per 15.

$$\frac{15y^{2}+8y}{15}=-\frac{1}{15}$$

La divisione per 15 annulla la moltiplicazione per 15.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y=-\frac{1}{15}$$

Dividi \frac{8}{15}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{4}{15}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{4}{15} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\left(\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{1}{15}+\left(\frac{4}{15}\right)^{2}$$

Eleva \frac{4}{15} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}=-\frac{1}{15}+\frac{16}{225}$$

Aggiungi -\frac{1}{15} a \frac{16}{225} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}=\frac{1}{225}$$

Fattore y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{4}{15}\right)^{2}=\frac{1}{225}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(y+\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{225}}$$

Semplifica.

$$y+\frac{4}{15}=\frac{1}{15} y+\frac{4}{15}=-\frac{1}{15}$$

Sottrai \frac{4}{15} da entrambi i lati dell'equazione.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$