Risolvi 15x^2-14x+3

$$15 x ^ { 2 } - 14 x + 3$$

Scomponi in fattori

$$\left(3x-1\right)\left(5x-3\right)$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 15x^{2}+ax+bx+3. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-14 ab=15\times 3=45$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 45.

$$-1,-45 -3,-15 -5,-9$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-45=-46 -3-15=-18 -5-9=-14$$

La soluzione è la coppia che restituisce -14 come somma.

$$a=-9 b=-5$$

Riscrivi 15x^{2}-14x+3 come \left(15x^{2}-9x\right)+\left(-5x+3\right).

$$\left(15x^{2}-9x\right)+\left(-5x+3\right)$$

Fattori in 3x nel primo e -1 nel secondo gruppo.

$$3x\left(5x-3\right)-\left(5x-3\right)$$

Fattorizza il termine comune 5x-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(5x-3\right)\left(3x-1\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$15x^{2}-14x+3=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 15\times 3}}{2\times 15}$$

Eleva -14 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 15\times 3}}{2\times 15}$$

Moltiplica -4 per 15.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-60\times 3}}{2\times 15}$$

Moltiplica -60 per 3.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-180}}{2\times 15}$$

Aggiungi 196 a -180.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{16}}{2\times 15}$$

Calcola la radice quadrata di 16.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±4}{2\times 15}$$

L'opposto di -14 è 14.

$$x=\frac{14±4}{2\times 15}$$

Moltiplica 2 per 15.

$$x=\frac{14±4}{30}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{14±4}{30} quando ± è più. Aggiungi 14 a 4.

$$x=\frac{18}{30}$$

Riduci la frazione \frac{18}{30} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$x=\frac{3}{5}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{14±4}{30} quando ± è meno. Sottrai 4 da 14.

$$x=\frac{10}{30}$$

Riduci la frazione \frac{10}{30} ai minimi termini estraendo e annullando 10.

$$x=\frac{1}{3}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con \frac{3}{5} e x_{2} con \frac{1}{3}.

$$15x^{2}-14x+3=15\left(x-\frac{3}{5}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)$$

Sottrai \frac{3}{5} da x trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$15x^{2}-14x+3=15\times \frac{5x-3}{5}\left(x-\frac{1}{3}\right)$$

Sottrai \frac{1}{3} da x trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$15x^{2}-14x+3=15\times \frac{5x-3}{5}\times \frac{3x-1}{3}$$

Moltiplica \frac{5x-3}{5} per \frac{3x-1}{3} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$15x^{2}-14x+3=15\times \frac{\left(5x-3\right)\left(3x-1\right)}{5\times 3}$$

Moltiplica 5 per 3.

$$15x^{2}-14x+3=15\times \frac{\left(5x-3\right)\left(3x-1\right)}{15}$$

Annulla il massimo comune divisore 15 in 15 e 15.

$$15x^{2}-14x+3=\left(5x-3\right)\left(3x-1\right)$$

Calcola

$$\left(3x-1\right)\left(5x-3\right)$$