Risolvi 15x^2+11x+2=0

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

Trova x

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 15x^{2}+ax+bx+2. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

La soluzione è la coppia che restituisce 11 come somma.

$$a=5 b=6$$

Riscrivi 15x^{2}+11x+2 come \left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right).

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

Fattori in 5x nel primo e 2 nel secondo gruppo.

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

Fattorizza il termine comune 3x+1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 3x+1=0 e 5x+2=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 15 a a, 11 a b e 2 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Eleva 11 al quadrato.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Moltiplica -4 per 15.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

Moltiplica -60 per 2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

Aggiungi 121 a -120.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

Calcola la radice quadrata di 1.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

Moltiplica 2 per 15.

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-11±1}{30} quando ± è più. Aggiungi -11 a 1.

$$x=-\frac{10}{30}$$

Riduci la frazione \frac{-10}{30} ai minimi termini estraendo e annullando 10.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-11±1}{30} quando ± è meno. Sottrai 1 da -11.

$$x=-\frac{12}{30}$$

Riduci la frazione \frac{-12}{30} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$x=-\frac{2}{5}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Sottrai 2 da entrambi i lati dell'equazione.

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

Sottraendo 2 da se stesso rimane 0.

$$15x^{2}+11x=-2$$

Dividi entrambi i lati per 15.

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

La divisione per 15 annulla la moltiplicazione per 15.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

Dividi \frac{11}{15}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{11}{30}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{11}{30} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

Eleva \frac{11}{30} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

Aggiungi -\frac{2}{15} a \frac{121}{900} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

Fattore x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

Sottrai \frac{11}{30} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$