Risolvi 15x^2+4x-4=0

$$15 { x }^{ 2 } +4x-4=0$$

Trova x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 15x^{2}+ax+bx-4. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

La soluzione è la coppia che restituisce 4 come somma.

$$a=-6 b=10$$

Riscrivi 15x^{2}+4x-4 come \left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right).

$$\left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right)$$

Fattori in 3x nel primo e 2 nel secondo gruppo.

$$3x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

Fattorizza il termine comune 5x-2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(5x-2\right)\left(3x+2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 5x-2=0 e 3x+2=0.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 15 a a, 4 a b e -4 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Eleva 4 al quadrato.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Moltiplica -4 per 15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Moltiplica -60 per -4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

Aggiungi 16 a 240.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

Calcola la radice quadrata di 256.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 15}$$

Moltiplica 2 per 15.

$$x=\frac{-4±16}{30}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-4±16}{30} quando ± è più. Aggiungi -4 a 16.

$$x=\frac{12}{30}$$

Riduci la frazione \frac{12}{30} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$x=\frac{2}{5}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-4±16}{30} quando ± è meno. Sottrai 16 da -4.

$$x=-\frac{20}{30}$$

Riduci la frazione \frac{-20}{30} ai minimi termini estraendo e annullando 10.

$$x=-\frac{2}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Aggiungi 4 a entrambi i lati dell'equazione.

$$15x^{2}+4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Sottraendo -4 da se stesso rimane 0.

$$15x^{2}+4x=-\left(-4\right)$$

Sottrai -4 da 0.

$$15x^{2}+4x=4$$

Dividi entrambi i lati per 15.

$$\frac{15x^{2}+4x}{15}=\frac{4}{15}$$

La divisione per 15 annulla la moltiplicazione per 15.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

Dividi \frac{4}{15}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{2}{15}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{2}{15} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}$$

Eleva \frac{2}{15} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

Aggiungi \frac{4}{15} a \frac{4}{225} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

Fattore x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x+\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

Sottrai \frac{2}{15} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$