Risolvi 14x^2+3x-2=0

$$14 x ^ { 2 } + 3 x - 2 = 0$$

Trova x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=\frac{2}{7}\approx 0,285714286$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 14x^{2}+ax+bx-2. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=3 ab=14\left(-2\right)=-28$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto superiore al negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

La soluzione è la coppia che restituisce 3 come somma.

$$a=-4 b=7$$

Riscrivi 14x^{2}+3x-2 come \left(14x^{2}-4x\right)+\left(7x-2\right).

$$\left(14x^{2}-4x\right)+\left(7x-2\right)$$

Scomponi 2x in 14x^{2}-4x.

$$2x\left(7x-2\right)+7x-2$$

Fattorizzare il termine comune 7x-2 usando la proprietà distributiva.

$$\left(7x-2\right)\left(2x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi 7x-2=0 e 2x+1=0.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$14x^{2}+3x-2=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 14 a a, 3 a b e -2 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 14\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

Eleva 3 al quadrato.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 14\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

Moltiplica -4 per 14.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-56\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

Moltiplica -56 per -2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+112}}{2\times 14}$$

Aggiungi 9 a 112.

$$x=\frac{-3±\sqrt{121}}{2\times 14}$$

Calcola la radice quadrata di 121.

$$x=\frac{-3±11}{2\times 14}$$

Moltiplica 2 per 14.

$$x=\frac{-3±11}{28}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-3±11}{28} quando ± è più. Aggiungi -3 a 11.

$$x=\frac{8}{28}$$

Riduci la frazione \frac{8}{28} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=\frac{2}{7}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-3±11}{28} quando ± è meno. Sottrai 11 da -3.

$$x=-\frac{14}{28}$$

Riduci la frazione \frac{-14}{28} ai minimi termini estraendo e annullando 14.

$$x=-\frac{1}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$14x^{2}+3x-2=0$$

Aggiungi 2 a entrambi i lati dell'equazione.

$$14x^{2}+3x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Sottraendo -2 da se stesso rimane 0.

$$14x^{2}+3x=-\left(-2\right)$$

Sottrai -2 da 0.

$$14x^{2}+3x=2$$

Dividi entrambi i lati per 14.

$$\frac{14x^{2}+3x}{14}=\frac{2}{14}$$

La divisione per 14 annulla la moltiplicazione per 14.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x=\frac{2}{14}$$

Riduci la frazione \frac{2}{14} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x=\frac{1}{7}$$

Dividi \frac{3}{14}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{3}{28}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{3}{28} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\left(\frac{3}{28}\right)^{2}=\frac{1}{7}+\left(\frac{3}{28}\right)^{2}$$

Eleva \frac{3}{28} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=\frac{1}{7}+\frac{9}{784}$$

Aggiungi \frac{1}{7} a \frac{9}{784} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=\frac{121}{784}$$

Scomponi x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{28}\right)^{2}=\frac{121}{784}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{784}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{3}{28}=\frac{11}{28} x+\frac{3}{28}=-\frac{11}{28}$$

Sottrai \frac{3}{28} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$