Risolvi 13x=x^2+30

$$13 x = x ^ { 2 } + 30$$

Trova x

$$x=3$$

$$x=10$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$13x-x^{2}=30$$

Sottrai 30 da entrambi i lati.

$$13x-x^{2}-30=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-x^{2}+13x-30=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -x^{2}+ax+bx-30. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=13 ab=-\left(-30\right)=30$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

La soluzione è la coppia che restituisce 13 come somma.

$$a=10 b=3$$

Riscrivi -x^{2}+13x-30 come \left(-x^{2}+10x\right)+\left(3x-30\right).

$$\left(-x^{2}+10x\right)+\left(3x-30\right)$$

Fattori in -x nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$-x\left(x-10\right)+3\left(x-10\right)$$

Fattorizza il termine comune x-10 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-10\right)\left(-x+3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-10=0 e -x+3=0.

$$x=10 x=3$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$13x-x^{2}=30$$

Sottrai 30 da entrambi i lati.

$$13x-x^{2}-30=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-x^{2}+13x-30=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -1 a a, 13 a b e -30 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-1\right)\left(-30\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva 13 al quadrato.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-1\right)\left(-30\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+4\left(-30\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 4 per -30.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-120}}{2\left(-1\right)}$$

Aggiungi 169 a -120.

$$x=\frac{-13±\sqrt{49}}{2\left(-1\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 49.

$$x=\frac{-13±7}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 2 per -1.

$$x=\frac{-13±7}{-2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-13±7}{-2} quando ± è più. Aggiungi -13 a 7.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Dividi -6 per -2.

$$x=3$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-13±7}{-2} quando ± è meno. Sottrai 7 da -13.

$$x=-\frac{20}{-2}$$

Dividi -20 per -2.

$$x=10$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=3 x=10$$

Procedura per completare il quadrato

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$13x-x^{2}=30$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+13x=30$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$\frac{-x^{2}+13x}{-1}=\frac{30}{-1}$$

La divisione per -1 annulla la moltiplicazione per -1.

$$x^{2}+\frac{13}{-1}x=\frac{30}{-1}$$

Dividi 13 per -1.

$$x^{2}-13x=\frac{30}{-1}$$

Dividi 30 per -1.

$$x^{2}-13x=-30$$

Dividi -13, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{13}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{13}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{13}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-30+\frac{169}{4}$$

Aggiungi -30 a \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{49}{4}$$

Fattore x^{2}-13x+\frac{169}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{7}{2}$$

Aggiungi \frac{13}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=10 x=3$$