Risolvi 13a^2-12a-9=0

$$13 a ^ { 2 } - 12 a - 9 = 0$$

Trova a

$$a = \frac{3 \sqrt{17} + 6}{13} \approx 1,413024375$$

$$a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}\approx -0,489947452$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$13a^{2}-12a-9=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 13 a a, -12 a b e -9 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 13\left(-9\right)}}{2\times 13}$$

Eleva -12 al quadrato.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 13\left(-9\right)}}{2\times 13}$$

Moltiplica -4 per 13.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-52\left(-9\right)}}{2\times 13}$$

Moltiplica -52 per -9.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+468}}{2\times 13}$$

Aggiungi 144 a 468.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{612}}{2\times 13}$$

Calcola la radice quadrata di 612.

$$a=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{17}}{2\times 13}$$

L'opposto di -12 è 12.

$$a=\frac{12±6\sqrt{17}}{2\times 13}$$

Moltiplica 2 per 13.

$$a=\frac{12±6\sqrt{17}}{26}$$

Ora risolvi l'equazione a=\frac{12±6\sqrt{17}}{26} quando ± è più. Aggiungi 12 a 6\sqrt{17}.

$$a=\frac{6\sqrt{17}+12}{26}$$

Dividi 12+6\sqrt{17} per 26.

$$a=\frac{3\sqrt{17}+6}{13}$$

Ora risolvi l'equazione a=\frac{12±6\sqrt{17}}{26} quando ± è meno. Sottrai 6\sqrt{17} da 12.

$$a=\frac{12-6\sqrt{17}}{26}$$

Dividi 12-6\sqrt{17} per 26.

$$a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}$$

L'equazione è stata risolta.

$$a=\frac{3\sqrt{17}+6}{13} a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$13a^{2}-12a-9=0$$

Aggiungi 9 a entrambi i lati dell'equazione.

$$13a^{2}-12a-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Sottraendo -9 da se stesso rimane 0.

$$13a^{2}-12a=-\left(-9\right)$$

Sottrai -9 da 0.

$$13a^{2}-12a=9$$

Dividi entrambi i lati per 13.

$$\frac{13a^{2}-12a}{13}=\frac{9}{13}$$

La divisione per 13 annulla la moltiplicazione per 13.

$$a^{2}-\frac{12}{13}a=\frac{9}{13}$$

Dividi -\frac{12}{13}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{6}{13}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{6}{13} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$a^{2}-\frac{12}{13}a+\left(-\frac{6}{13}\right)^{2}=\frac{9}{13}+\left(-\frac{6}{13}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{6}{13} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$a^{2}-\frac{12}{13}a+\frac{36}{169}=\frac{9}{13}+\frac{36}{169}$$

Aggiungi \frac{9}{13} a \frac{36}{169} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$a^{2}-\frac{12}{13}a+\frac{36}{169}=\frac{153}{169}$$

Fattore a^{2}-\frac{12}{13}a+\frac{36}{169}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{6}{13}\right)^{2}=\frac{153}{169}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(a-\frac{6}{13}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{153}{169}}$$

Semplifica.

$$a-\frac{6}{13}=\frac{3\sqrt{17}}{13} a-\frac{6}{13}=-\frac{3\sqrt{17}}{13}$$

Aggiungi \frac{6}{13} a entrambi i lati dell'equazione.

$$a=\frac{3\sqrt{17}+6}{13} a=\frac{6-3\sqrt{17}}{13}$$