Risolvi 120x^2+8000x-92000=0

$$120 { x }^{ 2 } +8000x-92000=0$$

Trova x

$$x = -\frac{230}{3} = -76\frac{2}{3} \approx -76,666666667$$

$$x=10$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Dividi entrambi i lati per 40.

$$3x^{2}+200x-2300=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3x^{2}+ax+bx-2300. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=200 ab=3\left(-2300\right)=-6900$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -6900.

$$-1,6900 -2,3450 -3,2300 -4,1725 -5,1380 -6,1150 -10,690 -12,575 -15,460 -20,345 -23,300 -25,276 -30,230 -46,150 -50,138 -60,115 -69,100 -75,92$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+6900=6899 -2+3450=3448 -3+2300=2297 -4+1725=1721 -5+1380=1375 -6+1150=1144 -10+690=680 -12+575=563 -15+460=445 -20+345=325 -23+300=277 -25+276=251 -30+230=200 -46+150=104 -50+138=88 -60+115=55 -69+100=31 -75+92=17$$

La soluzione è la coppia che restituisce 200 come somma.

$$a=-30 b=230$$

Riscrivi 3x^{2}+200x-2300 come \left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right).

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right)$$

Fattori in 3x nel primo e 230 nel secondo gruppo.

$$3x\left(x-10\right)+230\left(x-10\right)$$

Fattorizza il termine comune x-10 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-10\right)\left(3x+230\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-10=0 e 3x+230=0.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 120 a a, 8000 a b e -92000 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{8000^{2}-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Eleva 8000 al quadrato.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Moltiplica -4 per 120.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-480\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Moltiplica -480 per -92000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000+44160000}}{2\times 120}$$

Aggiungi 64000000 a 44160000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{108160000}}{2\times 120}$$

Calcola la radice quadrata di 108160000.

$$x=\frac{-8000±10400}{2\times 120}$$

Moltiplica 2 per 120.

$$x=\frac{-8000±10400}{240}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-8000±10400}{240} quando ± è più. Aggiungi -8000 a 10400.

$$x=\frac{2400}{240}$$

Dividi 2400 per 240.

$$x=10$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-8000±10400}{240} quando ± è meno. Sottrai 10400 da -8000.

$$x=-\frac{18400}{240}$$

Riduci la frazione \frac{-18400}{240} ai minimi termini estraendo e annullando 80.

$$x=-\frac{230}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Aggiungi 92000 a entrambi i lati dell'equazione.

$$120x^{2}+8000x-92000-\left(-92000\right)=-\left(-92000\right)$$

Sottraendo -92000 da se stesso rimane 0.

$$120x^{2}+8000x=-\left(-92000\right)$$

Sottrai -92000 da 0.

$$120x^{2}+8000x=92000$$

Dividi entrambi i lati per 120.

$$\frac{120x^{2}+8000x}{120}=\frac{92000}{120}$$

La divisione per 120 annulla la moltiplicazione per 120.

$$x^{2}+\frac{8000}{120}x=\frac{92000}{120}$$

Riduci la frazione \frac{8000}{120} ai minimi termini estraendo e annullando 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{92000}{120}$$

Riduci la frazione \frac{92000}{120} ai minimi termini estraendo e annullando 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{2300}{3}$$

Dividi \frac{200}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{100}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{100}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{2300}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

Eleva \frac{100}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{2300}{3}+\frac{10000}{9}$$

Aggiungi \frac{2300}{3} a \frac{10000}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{16900}{9}$$

Fattore x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{16900}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16900}{9}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{130}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{130}{3}$$

Sottrai \frac{100}{3} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$