Risolvi 12x^2-64x+67=0

$$12 x ^ { 2 } - 64 x + 67 = 0$$

Trova x

$$x=\frac{\sqrt{55}}{6}+\frac{8}{3}\approx 3,902699748$$

$$x=-\frac{\sqrt{55}}{6}+\frac{8}{3}\approx 1,430633585$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$12x^{2}-64x+67=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 12 a a, -64 a b e 67 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{\left(-64\right)^{2}-4\times 12\times 67}}{2\times 12}$$

Eleva -64 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-4\times 12\times 67}}{2\times 12}$$

Moltiplica -4 per 12.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-48\times 67}}{2\times 12}$$

Moltiplica -48 per 67.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-3216}}{2\times 12}$$

Aggiungi 4096 a -3216.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{880}}{2\times 12}$$

Calcola la radice quadrata di 880.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±4\sqrt{55}}{2\times 12}$$

L'opposto di -64 è 64.

$$x=\frac{64±4\sqrt{55}}{2\times 12}$$

Moltiplica 2 per 12.

$$x=\frac{64±4\sqrt{55}}{24}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{64±4\sqrt{55}}{24} quando ± è più. Aggiungi 64 a 4\sqrt{55}.

$$x=\frac{4\sqrt{55}+64}{24}$$

Dividi 64+4\sqrt{55} per 24.

$$x=\frac{\sqrt{55}}{6}+\frac{8}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{64±4\sqrt{55}}{24} quando ± è meno. Sottrai 4\sqrt{55} da 64.

$$x=\frac{64-4\sqrt{55}}{24}$$

Dividi 64-4\sqrt{55} per 24.

$$x=-\frac{\sqrt{55}}{6}+\frac{8}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{\sqrt{55}}{6}+\frac{8}{3} x=-\frac{\sqrt{55}}{6}+\frac{8}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-64x+67=0$$

Sottrai 67 da entrambi i lati dell'equazione.

$$12x^{2}-64x+67-67=-67$$

Sottraendo 67 da se stesso rimane 0.

$$12x^{2}-64x=-67$$

Dividi entrambi i lati per 12.

$$\frac{12x^{2}-64x}{12}=-\frac{67}{12}$$

La divisione per 12 annulla la moltiplicazione per 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{64}{12}\right)x=-\frac{67}{12}$$

Riduci la frazione \frac{-64}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=-\frac{67}{12}$$

Dividi -\frac{16}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{8}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{8}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}=-\frac{67}{12}+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{8}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=-\frac{67}{12}+\frac{64}{9}$$

Aggiungi -\frac{67}{12} a \frac{64}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{55}{36}$$

Fattore x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{55}{36}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{55}{36}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{8}{3}=\frac{\sqrt{55}}{6} x-\frac{8}{3}=-\frac{\sqrt{55}}{6}$$

Aggiungi \frac{8}{3} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{\sqrt{55}}{6}+\frac{8}{3} x=-\frac{\sqrt{55}}{6}+\frac{8}{3}$$