Risolvi 12x^2-2x+5=0

$$12 x ^ { 2 } - 2 x + 5 = 0$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12}\approx 0,083333333+0,640095479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}\approx 0,083333333-0,640095479i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$12x^{2}-2x+5=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 12 a a, -2 a b e 5 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Eleva -2 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Moltiplica -4 per 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-48\times 5}}{2\times 12}$$

Moltiplica -48 per 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-240}}{2\times 12}$$

Aggiungi 4 a -240.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-236}}{2\times 12}$$

Calcola la radice quadrata di -236.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{59}i}{2\times 12}$$

L'opposto di -2 è 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{2\times 12}$$

Moltiplica 2 per 12.

$$x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24} quando ± è più. Aggiungi 2 a 2i\sqrt{59}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{59}i}{24}$$

Dividi 2+2i\sqrt{59} per 24.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24} quando ± è meno. Sottrai 2i\sqrt{59} da 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{59}i+2}{24}$$

Dividi 2-2i\sqrt{59} per 24.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12} x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-2x+5=0$$

Sottrai 5 da entrambi i lati dell'equazione.

$$12x^{2}-2x+5-5=-5$$

Sottraendo 5 da se stesso rimane 0.

$$12x^{2}-2x=-5$$

Dividi entrambi i lati per 12.

$$\frac{12x^{2}-2x}{12}=-\frac{5}{12}$$

La divisione per 12 annulla la moltiplicazione per 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{12}\right)x=-\frac{5}{12}$$

Riduci la frazione \frac{-2}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=-\frac{5}{12}$$

Dividi -\frac{1}{6}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{12}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{12} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{12} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=-\frac{5}{12}+\frac{1}{144}$$

Aggiungi -\frac{5}{12} a \frac{1}{144} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=-\frac{59}{144}$$

Fattore x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=-\frac{59}{144}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{59}{144}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{\sqrt{59}i}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{\sqrt{59}i}{12}$$

Aggiungi \frac{1}{12} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12} x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$