Risolvi 12x^2+23x-24

$$12 x ^ { 2 } + 23 x - 24$$

Scomponi in fattori

$$\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 12x^{2}+ax+bx-24. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=23 ab=12\left(-24\right)=-288$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -288.

$$-1,288 -2,144 -3,96 -4,72 -6,48 -8,36 -9,32 -12,24 -16,18$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+288=287 -2+144=142 -3+96=93 -4+72=68 -6+48=42 -8+36=28 -9+32=23 -12+24=12 -16+18=2$$

La soluzione è la coppia che restituisce 23 come somma.

$$a=-9 b=32$$

Riscrivi 12x^{2}+23x-24 come \left(12x^{2}-9x\right)+\left(32x-24\right).

$$\left(12x^{2}-9x\right)+\left(32x-24\right)$$

Fattori in 3x nel primo e 8 nel secondo gruppo.

$$3x\left(4x-3\right)+8\left(4x-3\right)$$

Fattorizza il termine comune 4x-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}+23x-24=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 12\left(-24\right)}}{2\times 12}$$

Eleva 23 al quadrato.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 12\left(-24\right)}}{2\times 12}$$

Moltiplica -4 per 12.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-48\left(-24\right)}}{2\times 12}$$

Moltiplica -48 per -24.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529+1152}}{2\times 12}$$

Aggiungi 529 a 1152.

$$x=\frac{-23±\sqrt{1681}}{2\times 12}$$

Calcola la radice quadrata di 1681.

$$x=\frac{-23±41}{2\times 12}$$

Moltiplica 2 per 12.

$$x=\frac{-23±41}{24}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-23±41}{24} quando ± è più. Aggiungi -23 a 41.

$$x=\frac{18}{24}$$

Riduci la frazione \frac{18}{24} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$x=\frac{3}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-23±41}{24} quando ± è meno. Sottrai 41 da -23.

$$x=-\frac{64}{24}$$

Riduci la frazione \frac{-64}{24} ai minimi termini estraendo e annullando 8.

$$x=-\frac{8}{3}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con \frac{3}{4} e x_{2} con -\frac{8}{3}.

$$12x^{2}+23x-24=12\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x-\left(-\frac{8}{3}\right)\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$12x^{2}+23x-24=12\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x+\frac{8}{3}\right)$$

Sottrai \frac{3}{4} da x trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$12x^{2}+23x-24=12\times \frac{4x-3}{4}\left(x+\frac{8}{3}\right)$$

Aggiungi \frac{8}{3} a x trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$12x^{2}+23x-24=12\times \frac{4x-3}{4}\times \frac{3x+8}{3}$$

Moltiplica \frac{4x-3}{4} per \frac{3x+8}{3} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$12x^{2}+23x-24=12\times \frac{\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)}{4\times 3}$$

Moltiplica 4 per 3.

$$12x^{2}+23x-24=12\times \frac{\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)}{12}$$

Annulla il massimo comune divisore 12 in 12 e 12.

$$12x^{2}+23x-24=\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)$$

Calcola

$$\left(4x-3\right)\left(3x+8\right)$$