Risolvi 12r^2-11r-15=0

$$12 r ^ { 2 } - 11 r - 15 = 0$$

Trova r

$$r=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$r = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 12r^{2}+ar+br-15. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

La soluzione è la coppia che restituisce -11 come somma.

$$a=-20 b=9$$

Riscrivi 12r^{2}-11r-15 come \left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right).

$$\left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right)$$

Fattori in 4r nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$4r\left(3r-5\right)+3\left(3r-5\right)$$

Fattorizza il termine comune 3r-5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3r-5\right)\left(4r+3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 3r-5=0 e 4r+3=0.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 12 a a, -11 a b e -15 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Eleva -11 al quadrato.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Moltiplica -4 per 12.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Moltiplica -48 per -15.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

Aggiungi 121 a 720.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

Calcola la radice quadrata di 841.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±29}{2\times 12}$$

L'opposto di -11 è 11.

$$r=\frac{11±29}{2\times 12}$$

Moltiplica 2 per 12.

$$r=\frac{11±29}{24}$$

Ora risolvi l'equazione r=\frac{11±29}{24} quando ± è più. Aggiungi 11 a 29.

$$r=\frac{40}{24}$$

Riduci la frazione \frac{40}{24} ai minimi termini estraendo e annullando 8.

$$r=\frac{5}{3}$$

Ora risolvi l'equazione r=\frac{11±29}{24} quando ± è meno. Sottrai 29 da 11.

$$r=-\frac{18}{24}$$

Riduci la frazione \frac{-18}{24} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$r=-\frac{3}{4}$$

L'equazione è stata risolta.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

Aggiungi 15 a entrambi i lati dell'equazione.

$$12r^{2}-11r-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Sottraendo -15 da se stesso rimane 0.

$$12r^{2}-11r=-\left(-15\right)$$

Sottrai -15 da 0.

$$12r^{2}-11r=15$$

Dividi entrambi i lati per 12.

$$\frac{12r^{2}-11r}{12}=\frac{15}{12}$$

La divisione per 12 annulla la moltiplicazione per 12.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{15}{12}$$

Riduci la frazione \frac{15}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 3.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{5}{4}$$

Dividi -\frac{11}{12}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{11}{24}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{11}{24} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{11}{24} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{5}{4}+\frac{121}{576}$$

Aggiungi \frac{5}{4} a \frac{121}{576} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{841}{576}$$

Fattore r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{841}{576}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{576}}$$

Semplifica.

$$r-\frac{11}{24}=\frac{29}{24} r-\frac{11}{24}=-\frac{29}{24}$$

Aggiungi \frac{11}{24} a entrambi i lati dell'equazione.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$