Risolvi 12k^2+15k-27

$$12 k ^ { 2 } + 15 k - 27$$

Scomponi in fattori

$$3\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$

Procedura della soluzione

Scomponi 3 in fattori.

$$3\left(4k^{2}+5k-9\right)$$

Considera 4k^{2}+5k-9. Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 4k^{2}+ak+bk-9. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=5 ab=4\left(-9\right)=-36$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

La soluzione è la coppia che restituisce 5 come somma.

$$a=-4 b=9$$

Riscrivi 4k^{2}+5k-9 come \left(4k^{2}-4k\right)+\left(9k-9\right).

$$\left(4k^{2}-4k\right)+\left(9k-9\right)$$

Fattori in 4k nel primo e 9 nel secondo gruppo.

$$4k\left(k-1\right)+9\left(k-1\right)$$

Fattorizza il termine comune k-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$

Riscrivi l'espressione fattorizzata completa.

$$3\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$12k^{2}+15k-27=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$k=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\times 12\left(-27\right)}}{2\times 12}$$

Eleva 15 al quadrato.

$$k=\frac{-15±\sqrt{225-4\times 12\left(-27\right)}}{2\times 12}$$

Moltiplica -4 per 12.

$$k=\frac{-15±\sqrt{225-48\left(-27\right)}}{2\times 12}$$

Moltiplica -48 per -27.

$$k=\frac{-15±\sqrt{225+1296}}{2\times 12}$$

Aggiungi 225 a 1296.

$$k=\frac{-15±\sqrt{1521}}{2\times 12}$$

Calcola la radice quadrata di 1521.

$$k=\frac{-15±39}{2\times 12}$$

Moltiplica 2 per 12.

$$k=\frac{-15±39}{24}$$

Ora risolvi l'equazione k=\frac{-15±39}{24} quando ± è più. Aggiungi -15 a 39.

$$k=\frac{24}{24}$$

Dividi 24 per 24.

$$k=1$$

Ora risolvi l'equazione k=\frac{-15±39}{24} quando ± è meno. Sottrai 39 da -15.

$$k=-\frac{54}{24}$$

Riduci la frazione \frac{-54}{24} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$k=-\frac{9}{4}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con 1 e x_{2} con -\frac{9}{4}.

$$12k^{2}+15k-27=12\left(k-1\right)\left(k-\left(-\frac{9}{4}\right)\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$12k^{2}+15k-27=12\left(k-1\right)\left(k+\frac{9}{4}\right)$$

Aggiungi \frac{9}{4} a k trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$12k^{2}+15k-27=12\left(k-1\right)\times \frac{4k+9}{4}$$

Annulla il massimo comune divisore 4 in 12 e 4.

$$12k^{2}+15k-27=3\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$

Calcola

$$3\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$