Risolvi 12c^2+11c-15

$$12 c ^ { 2 } + 11 c - 15$$

Scomponi in fattori

$$\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 12c^{2}+ac+bc-15. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -180.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

La soluzione è la coppia che restituisce 11 come somma.

$$a=-9 b=20$$

Riscrivi 12c^{2}+11c-15 come \left(12c^{2}-9c\right)+\left(20c-15\right).

$$\left(12c^{2}-9c\right)+\left(20c-15\right)$$

Fattori in 3c nel primo e 5 nel secondo gruppo.

$$3c\left(4c-3\right)+5\left(4c-3\right)$$

Fattorizza il termine comune 4c-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$12c^{2}+11c-15=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$c=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Eleva 11 al quadrato.

$$c=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Moltiplica -4 per 12.

$$c=\frac{-11±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Moltiplica -48 per -15.

$$c=\frac{-11±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

Aggiungi 121 a 720.

$$c=\frac{-11±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

Calcola la radice quadrata di 841.

$$c=\frac{-11±29}{2\times 12}$$

Moltiplica 2 per 12.

$$c=\frac{-11±29}{24}$$

Ora risolvi l'equazione c=\frac{-11±29}{24} quando ± è più. Aggiungi -11 a 29.

$$c=\frac{18}{24}$$

Riduci la frazione \frac{18}{24} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$c=\frac{3}{4}$$

Ora risolvi l'equazione c=\frac{-11±29}{24} quando ± è meno. Sottrai 29 da -11.

$$c=-\frac{40}{24}$$

Riduci la frazione \frac{-40}{24} ai minimi termini estraendo e annullando 8.

$$c=-\frac{5}{3}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con \frac{3}{4} e x_{2} con -\frac{5}{3}.

$$12c^{2}+11c-15=12\left(c-\frac{3}{4}\right)\left(c-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$12c^{2}+11c-15=12\left(c-\frac{3}{4}\right)\left(c+\frac{5}{3}\right)$$

Sottrai \frac{3}{4} da c trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{4c-3}{4}\left(c+\frac{5}{3}\right)$$

Aggiungi \frac{5}{3} a c trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{4c-3}{4}\times \frac{3c+5}{3}$$

Moltiplica \frac{4c-3}{4} per \frac{3c+5}{3} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)}{4\times 3}$$

Moltiplica 4 per 3.

$$12c^{2}+11c-15=12\times \frac{\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)}{12}$$

Annulla il massimo comune divisore 12 in 12 e 12.

$$12c^{2}+11c-15=\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$

Calcola

$$\left(4c-3\right)\left(3c+5\right)$$