Risolvi 12(n-4)-30=n^2-9n+12

$$12 ( n - 4 ) - 30 = n ^ { 2 } - 9 n + 12$$

Trova n

$$n=6$$

$$n=15$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 12 per n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Sottrai 30 da -48 per ottenere -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Sottrai n^{2} da entrambi i lati.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Aggiungi 9n a entrambi i lati.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Combina 12n e 9n per ottenere 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Sottrai 12 da entrambi i lati.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

Sottrai 12 da -78 per ottenere -90.

$$21n-90-n^{2}=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -n^{2}+an+bn-90. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=21 ab=-\left(-90\right)=90$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 90.

$$1,90 2,45 3,30 5,18 6,15 9,10$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+90=91 2+45=47 3+30=33 5+18=23 6+15=21 9+10=19$$

La soluzione è la coppia che restituisce 21 come somma.

$$a=15 b=6$$

Riscrivi -n^{2}+21n-90 come \left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right).

$$\left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right)$$

Fattorizza -n nel primo e 6 nel secondo gruppo.

$$-n\left(n-15\right)+6\left(n-15\right)$$

Fattorizzare il termine comune n-15 usando la proprietà distributiva.

$$\left(n-15\right)\left(-n+6\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi n-15=0 e -n+6=0.

$$n=15 n=6$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 12 per n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Sottrai 30 da -48 per ottenere -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Sottrai n^{2} da entrambi i lati.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Aggiungi 9n a entrambi i lati.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Combina 12n e 9n per ottenere 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Sottrai 12 da entrambi i lati.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

Sottrai 12 da -78 per ottenere -90.

$$21n-90-n^{2}=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -1 a a, 21 a b e -90 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva 21 al quadrato.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441+4\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 4 per -90.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-360}}{2\left(-1\right)}$$

Aggiungi 441 a -360.

$$n=\frac{-21±\sqrt{81}}{2\left(-1\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 81.

$$n=\frac{-21±9}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 2 per -1.

$$n=\frac{-21±9}{-2}$$

Ora risolvi l'equazione n=\frac{-21±9}{-2} quando ± è più. Aggiungi -21 a 9.

$$n=-\frac{12}{-2}$$

Dividi -12 per -2.

$$n=6$$

Ora risolvi l'equazione n=\frac{-21±9}{-2} quando ± è meno. Sottrai 9 da -21.

$$n=-\frac{30}{-2}$$

Dividi -30 per -2.

$$n=15$$

L'equazione è stata risolta.

$$n=6 n=15$$

Procedura per completare il quadrato

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 12 per n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Sottrai 30 da -48 per ottenere -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Sottrai n^{2} da entrambi i lati.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Aggiungi 9n a entrambi i lati.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Combina 12n e 9n per ottenere 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Aggiungi 78 a entrambi i lati.

$$21n-n^{2}=12+78$$

E 12 e 78 per ottenere 90.

$$21n-n^{2}=90$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-n^{2}+21n=90$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$\frac{-n^{2}+21n}{-1}=\frac{90}{-1}$$

La divisione per -1 annulla la moltiplicazione per -1.

$$n^{2}+\frac{21}{-1}n=\frac{90}{-1}$$

Dividi 21 per -1.

$$n^{2}-21n=\frac{90}{-1}$$

Dividi 90 per -1.

$$n^{2}-21n=-90$$

Dividi -21, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{21}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{21}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$n^{2}-21n+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-90+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{21}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=-90+\frac{441}{4}$$

Aggiungi -90 a \frac{441}{4}.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=\frac{81}{4}$$

Scomponi n^{2}-21n+\frac{441}{4} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Semplifica.

$$n-\frac{21}{2}=\frac{9}{2} n-\frac{21}{2}=-\frac{9}{2}$$

Aggiungi \frac{21}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$n=15 n=6$$