Risolvi 12z^2-7z-12

$$12 { z }^{ 2 } -7z-12$$

Scomponi in fattori

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 12z^{2}+az+bz-12. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-7 ab=12\left(-12\right)=-144$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -144.

$$1,-144 2,-72 3,-48 4,-36 6,-24 8,-18 9,-16 12,-12$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-144=-143 2-72=-70 3-48=-45 4-36=-32 6-24=-18 8-18=-10 9-16=-7 12-12=0$$

La soluzione è la coppia che restituisce -7 come somma.

$$a=-16 b=9$$

Riscrivi 12z^{2}-7z-12 come \left(12z^{2}-16z\right)+\left(9z-12\right).

$$\left(12z^{2}-16z\right)+\left(9z-12\right)$$

Fattori in 4z nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$4z\left(3z-4\right)+3\left(3z-4\right)$$

Fattorizza il termine comune 3z-4 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$12z^{2}-7z-12=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 12\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Eleva -7 al quadrato.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 12\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Moltiplica -4 per 12.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48\left(-12\right)}}{2\times 12}$$

Moltiplica -48 per -12.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+576}}{2\times 12}$$

Aggiungi 49 a 576.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{625}}{2\times 12}$$

Calcola la radice quadrata di 625.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±25}{2\times 12}$$

L'opposto di -7 è 7.

$$z=\frac{7±25}{2\times 12}$$

Moltiplica 2 per 12.

$$z=\frac{7±25}{24}$$

Ora risolvi l'equazione z=\frac{7±25}{24} quando ± è più. Aggiungi 7 a 25.

$$z=\frac{32}{24}$$

Riduci la frazione \frac{32}{24} ai minimi termini estraendo e annullando 8.

$$z=\frac{4}{3}$$

Ora risolvi l'equazione z=\frac{7±25}{24} quando ± è meno. Sottrai 25 da 7.

$$z=-\frac{18}{24}$$

Riduci la frazione \frac{-18}{24} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$z=-\frac{3}{4}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con \frac{4}{3} e x_{2} con -\frac{3}{4}.

$$12z^{2}-7z-12=12\left(z-\frac{4}{3}\right)\left(z-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$12z^{2}-7z-12=12\left(z-\frac{4}{3}\right)\left(z+\frac{3}{4}\right)$$

Sottrai \frac{4}{3} da z trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{3z-4}{3}\left(z+\frac{3}{4}\right)$$

Aggiungi \frac{3}{4} a z trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{3z-4}{3}\times \frac{4z+3}{4}$$

Moltiplica \frac{3z-4}{3} per \frac{4z+3}{4} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)}{3\times 4}$$

Moltiplica 3 per 4.

$$12z^{2}-7z-12=12\times \frac{\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)}{12}$$

Annulla il massimo comune divisore 12 in 12 e 12.

$$12z^{2}-7z-12=\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$

Calcola

$$\left(3z-4\right)\left(4z+3\right)$$