Risolvi 12x^2-7x+1

$$12 { x }^{ 2 } -7x+1$$

Scomponi in fattori

$$\left(3x-1\right)\left(4x-1\right)$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 12x^{2}+ax+bx+1. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-7 ab=12\times 1=12$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

La soluzione è la coppia che restituisce -7 come somma.

$$a=-4 b=-3$$

Riscrivi 12x^{2}-7x+1 come \left(12x^{2}-4x\right)+\left(-3x+1\right).

$$\left(12x^{2}-4x\right)+\left(-3x+1\right)$$

Fattorizza 4x nel primo e -1 nel secondo gruppo.

$$4x\left(3x-1\right)-\left(3x-1\right)$$

Fattorizzare il termine comune 3x-1 usando la proprietà distributiva.

$$\left(3x-1\right)\left(4x-1\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}-7x+1=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 12}}{2\times 12}$$

Eleva -7 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 12}}{2\times 12}$$

Moltiplica -4 per 12.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 12}$$

Aggiungi 49 a -48.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 12}$$

Calcola la radice quadrata di 1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 12}$$

L'opposto di -7 è 7.

$$x=\frac{7±1}{2\times 12}$$

Moltiplica 2 per 12.

$$x=\frac{7±1}{24}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{7±1}{24} quando ± è più. Aggiungi 7 a 1.

$$x=\frac{8}{24}$$

Riduci la frazione \frac{8}{24} ai minimi termini estraendo e annullando 8.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{7±1}{24} quando ± è meno. Sottrai 1 da 7.

$$x=\frac{6}{24}$$

Riduci la frazione \frac{6}{24} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$x=\frac{1}{4}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con \frac{1}{3} e x_{2} con \frac{1}{4}.

$$12x^{2}-7x+1=12\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{4}\right)$$

Sottrai \frac{1}{3} da x trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$12x^{2}-7x+1=12\times \frac{3x-1}{3}\left(x-\frac{1}{4}\right)$$

Sottrai \frac{1}{4} da x trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$12x^{2}-7x+1=12\times \frac{3x-1}{3}\times \frac{4x-1}{4}$$

Moltiplica \frac{3x-1}{3} per \frac{4x-1}{4} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$12x^{2}-7x+1=12\times \frac{\left(3x-1\right)\left(4x-1\right)}{3\times 4}$$

Moltiplica 3 per 4.

$$12x^{2}-7x+1=12\times \frac{\left(3x-1\right)\left(4x-1\right)}{12}$$

Cancella 12, il massimo comune divisore in 12 e 12.

$$12x^{2}-7x+1=\left(3x-1\right)\left(4x-1\right)$$

Calcola

$$\left(3x-1\right)\left(4x-1\right)$$