Risolvi 12x^2+80x+100

$$12 { x }^{ 2 } +80x+100$$

Scomponi in fattori

$$4\left(x+5\right)\left(3x+5\right)$$

Procedura della soluzione

Scomponi 4 in fattori.

$$4\left(3x^{2}+20x+25\right)$$

Considera 3x^{2}+20x+25. Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 3x^{2}+ax+bx+25. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=20 ab=3\times 25=75$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 75.

$$1,75 3,25 5,15$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+75=76 3+25=28 5+15=20$$

La soluzione è la coppia che restituisce 20 come somma.

$$a=5 b=15$$

Riscrivi 3x^{2}+20x+25 come \left(3x^{2}+5x\right)+\left(15x+25\right).

$$\left(3x^{2}+5x\right)+\left(15x+25\right)$$

Fattori in x nel primo e 5 nel secondo gruppo.

$$x\left(3x+5\right)+5\left(3x+5\right)$$

Fattorizza il termine comune 3x+5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3x+5\right)\left(x+5\right)$$

Riscrivi l'espressione fattorizzata completa.

$$4\left(3x+5\right)\left(x+5\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}+80x+100=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x=\frac{-80±\sqrt{80^{2}-4\times 12\times 100}}{2\times 12}$$

Eleva 80 al quadrato.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400-4\times 12\times 100}}{2\times 12}$$

Moltiplica -4 per 12.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400-48\times 100}}{2\times 12}$$

Moltiplica -48 per 100.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400-4800}}{2\times 12}$$

Aggiungi 6400 a -4800.

$$x=\frac{-80±\sqrt{1600}}{2\times 12}$$

Calcola la radice quadrata di 1600.

$$x=\frac{-80±40}{2\times 12}$$

Moltiplica 2 per 12.

$$x=\frac{-80±40}{24}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-80±40}{24} quando ± è più. Aggiungi -80 a 40.

$$x=-\frac{40}{24}$$

Riduci la frazione \frac{-40}{24} ai minimi termini estraendo e annullando 8.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-80±40}{24} quando ± è meno. Sottrai 40 da -80.

$$x=-\frac{120}{24}$$

Dividi -120 per 24.

$$x=-5$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con -\frac{5}{3} e x_{2} con -5.

$$12x^{2}+80x+100=12\left(x-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)\left(x-\left(-5\right)\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$12x^{2}+80x+100=12\left(x+\frac{5}{3}\right)\left(x+5\right)$$

Aggiungi \frac{5}{3} a x trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$12x^{2}+80x+100=12\times \frac{3x+5}{3}\left(x+5\right)$$

Annulla il massimo comune divisore 3 in 12 e 3.

$$12x^{2}+80x+100=4\left(3x+5\right)\left(x+5\right)$$

Calcola

$$4\left(x+5\right)\left(3x+5\right)$$