Risolvi 12x^2+5x-3

$$12 { x }^{ 2 } +5x-3$$

Scomponi in fattori

$$\left(3x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 12x^{2}+ax+bx-3. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=5 ab=12\left(-3\right)=-36$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

La soluzione è la coppia che restituisce 5 come somma.

$$a=-4 b=9$$

Riscrivi 12x^{2}+5x-3 come \left(12x^{2}-4x\right)+\left(9x-3\right).

$$\left(12x^{2}-4x\right)+\left(9x-3\right)$$

Fattori in 4x nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$4x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

Fattorizza il termine comune 3x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}+5x-3=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 12\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Eleva 5 al quadrato.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 12\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Moltiplica -4 per 12.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-48\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

Moltiplica -48 per -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+144}}{2\times 12}$$

Aggiungi 25 a 144.

$$x=\frac{-5±\sqrt{169}}{2\times 12}$$

Calcola la radice quadrata di 169.

$$x=\frac{-5±13}{2\times 12}$$

Moltiplica 2 per 12.

$$x=\frac{-5±13}{24}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-5±13}{24} quando ± è più. Aggiungi -5 a 13.

$$x=\frac{8}{24}$$

Riduci la frazione \frac{8}{24} ai minimi termini estraendo e annullando 8.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-5±13}{24} quando ± è meno. Sottrai 13 da -5.

$$x=-\frac{18}{24}$$

Riduci la frazione \frac{-18}{24} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con \frac{1}{3} e x_{2} con -\frac{3}{4}.

$$12x^{2}+5x-3=12\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$12x^{2}+5x-3=12\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Sottrai \frac{1}{3} da x trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$12x^{2}+5x-3=12\times \frac{3x-1}{3}\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Aggiungi \frac{3}{4} a x trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$12x^{2}+5x-3=12\times \frac{3x-1}{3}\times \frac{4x+3}{4}$$

Moltiplica \frac{3x-1}{3} per \frac{4x+3}{4} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$12x^{2}+5x-3=12\times \frac{\left(3x-1\right)\left(4x+3\right)}{3\times 4}$$

Moltiplica 3 per 4.

$$12x^{2}+5x-3=12\times \frac{\left(3x-1\right)\left(4x+3\right)}{12}$$

Annulla il massimo comune divisore 12 in 12 e 12.

$$12x^{2}+5x-3=\left(3x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Calcola

$$\left(3x-1\right)\left(4x+3\right)$$