Risolvi 12x^2+32x+5=0

$$12 { x }^{ 2 } +32x+5=0$$

Trova x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0.166666667$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 12x^{2}+ax+bx+5. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=32 ab=12\times 5=60$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

La soluzione è la coppia che restituisce 32 come somma.

$$a=2 b=30$$

Riscrivi 12x^{2}+32x+5 come \left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right).

$$\left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right)$$

Fattorizza 2x nel primo e 5 nel secondo gruppo.

$$2x\left(6x+1\right)+5\left(6x+1\right)$$

Fattorizzare il termine comune 6x+1 usando la proprietà distributiva.

$$\left(6x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi 6x+1=0 e 2x+5=0.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$12x^{2}+32x+5=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 12 a a, 32 a b e 5 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Eleva 32 al quadrato.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Moltiplica -4 per 12.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-48\times 5}}{2\times 12}$$

Moltiplica -48 per 5.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-240}}{2\times 12}$$

Aggiungi 1024 a -240.

$$x=\frac{-32±\sqrt{784}}{2\times 12}$$

Calcola la radice quadrata di 784.

$$x=\frac{-32±28}{2\times 12}$$

Moltiplica 2 per 12.

$$x=\frac{-32±28}{24}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-32±28}{24} quando ± è più. Aggiungi -32 a 28.

$$x=-\frac{4}{24}$$

Riduci la frazione \frac{-4}{24} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=-\frac{1}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-32±28}{24} quando ± è meno. Sottrai 28 da -32.

$$x=-\frac{60}{24}$$

Riduci la frazione \frac{-60}{24} ai minimi termini estraendo e annullando 12.

$$x=-\frac{5}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+32x+5=0$$

Sottrai 5 da entrambi i lati dell'equazione.

$$12x^{2}+32x+5-5=-5$$

Sottraendo 5 da se stesso rimane 0.

$$12x^{2}+32x=-5$$

Dividi entrambi i lati per 12.

$$\frac{12x^{2}+32x}{12}=-\frac{5}{12}$$

La divisione per 12 annulla la moltiplicazione per 12.

$$x^{2}+\frac{32}{12}x=-\frac{5}{12}$$

Riduci la frazione \frac{32}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{5}{12}$$

Dividi \frac{8}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{4}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{4}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Eleva \frac{4}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=-\frac{5}{12}+\frac{16}{9}$$

Aggiungi -\frac{5}{12} a \frac{16}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{36}$$

Scomponi x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{6} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{6}$$

Sottrai \frac{4}{3} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$