Risolvi 12x^2+25x-45=0

$$12 { x }^{ 2 } +25x-45=0$$

Trova x

$$x = \frac{\sqrt{2785} - 25}{24} \approx 1.157212467$$

$$x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}\approx -3.2405458$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$12x^{2}+25x-45=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 12 a a, 25 a b e -45 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 12\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

Eleva 25 al quadrato.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 12\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

Moltiplica -4 per 12.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-48\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

Moltiplica -48 per -45.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625+2160}}{2\times 12}$$

Aggiungi 625 a 2160.

$$x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{2\times 12}$$

Moltiplica 2 per 12.

$$x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24} quando ± è più. Aggiungi -25 a \sqrt{2785}.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24} quando ± è meno. Sottrai \sqrt{2785} da -25.

$$x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24} x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+25x-45=0$$

Aggiungi 45 a entrambi i lati dell'equazione.

$$12x^{2}+25x-45-\left(-45\right)=-\left(-45\right)$$

Sottraendo -45 da se stesso rimane 0.

$$12x^{2}+25x=-\left(-45\right)$$

Sottrai -45 da 0.

$$12x^{2}+25x=45$$

Dividi entrambi i lati per 12.

$$\frac{12x^{2}+25x}{12}=\frac{45}{12}$$

La divisione per 12 annulla la moltiplicazione per 12.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x=\frac{45}{12}$$

Riduci la frazione \frac{45}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 3.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x=\frac{15}{4}$$

Dividi \frac{25}{12}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{25}{24}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{25}{24} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

Eleva \frac{25}{24} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}=\frac{15}{4}+\frac{625}{576}$$

Aggiungi \frac{15}{4} a \frac{625}{576} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}=\frac{2785}{576}$$

Scomponi x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{2785}{576}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2785}{576}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{25}{24}=\frac{\sqrt{2785}}{24} x+\frac{25}{24}=-\frac{\sqrt{2785}}{24}$$

Sottrai \frac{25}{24} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24} x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$