Risolvi 12x^2+23x+10

$$12 { x }^{ 2 } +23x+10$$

Scomponi in fattori

$$\left(3x+2\right)\left(4x+5\right)$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 12x^{2}+ax+bx+10. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=23 ab=12\times 10=120$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 120.

$$1,120 2,60 3,40 4,30 5,24 6,20 8,15 10,12$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+120=121 2+60=62 3+40=43 4+30=34 5+24=29 6+20=26 8+15=23 10+12=22$$

La soluzione è la coppia che restituisce 23 come somma.

$$a=8 b=15$$

Riscrivi 12x^{2}+23x+10 come \left(12x^{2}+8x\right)+\left(15x+10\right).

$$\left(12x^{2}+8x\right)+\left(15x+10\right)$$

Fattori in 4x nel primo e 5 nel secondo gruppo.

$$4x\left(3x+2\right)+5\left(3x+2\right)$$

Fattorizza il termine comune 3x+2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3x+2\right)\left(4x+5\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}+23x+10=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 12\times 10}}{2\times 12}$$

Eleva 23 al quadrato.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 12\times 10}}{2\times 12}$$

Moltiplica -4 per 12.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-48\times 10}}{2\times 12}$$

Moltiplica -48 per 10.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-480}}{2\times 12}$$

Aggiungi 529 a -480.

$$x=\frac{-23±\sqrt{49}}{2\times 12}$$

Calcola la radice quadrata di 49.

$$x=\frac{-23±7}{2\times 12}$$

Moltiplica 2 per 12.

$$x=\frac{-23±7}{24}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-23±7}{24} quando ± è più. Aggiungi -23 a 7.

$$x=-\frac{16}{24}$$

Riduci la frazione \frac{-16}{24} ai minimi termini estraendo e annullando 8.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-23±7}{24} quando ± è meno. Sottrai 7 da -23.

$$x=-\frac{30}{24}$$

Riduci la frazione \frac{-30}{24} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$x=-\frac{5}{4}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con -\frac{2}{3} e x_{2} con -\frac{5}{4}.

$$12x^{2}+23x+10=12\left(x-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{4}\right)\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$12x^{2}+23x+10=12\left(x+\frac{2}{3}\right)\left(x+\frac{5}{4}\right)$$

Aggiungi \frac{2}{3} a x trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$12x^{2}+23x+10=12\times \frac{3x+2}{3}\left(x+\frac{5}{4}\right)$$

Aggiungi \frac{5}{4} a x trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$12x^{2}+23x+10=12\times \frac{3x+2}{3}\times \frac{4x+5}{4}$$

Moltiplica \frac{3x+2}{3} per \frac{4x+5}{4} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$12x^{2}+23x+10=12\times \frac{\left(3x+2\right)\left(4x+5\right)}{3\times 4}$$

Moltiplica 3 per 4.

$$12x^{2}+23x+10=12\times \frac{\left(3x+2\right)\left(4x+5\right)}{12}$$

Annulla il massimo comune divisore 12 in 12 e 12.

$$12x^{2}+23x+10=\left(3x+2\right)\left(4x+5\right)$$

Calcola

$$\left(3x+2\right)\left(4x+5\right)$$