Risolvi 11y^2+y=2

$$11 y ^ { 2 } + y = 2$$

Trova y

$$y=\frac{\sqrt{89}-1}{22}\approx 0,383362779$$

$$y=\frac{-\sqrt{89}-1}{22}\approx -0,47427187$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$11y^{2}+y=2$$

Sottrai 2 da entrambi i lati dell'equazione.

$$11y^{2}+y-2=2-2$$

Sottraendo 2 da se stesso rimane 0.

$$11y^{2}+y-2=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 11 a a, 1 a b e -2 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 11\left(-2\right)}}{2\times 11}$$

Eleva 1 al quadrato.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 11\left(-2\right)}}{2\times 11}$$

Moltiplica -4 per 11.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-44\left(-2\right)}}{2\times 11}$$

Moltiplica -44 per -2.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+88}}{2\times 11}$$

Aggiungi 1 a 88.

$$y=\frac{-1±\sqrt{89}}{2\times 11}$$

Moltiplica 2 per 11.

$$y=\frac{-1±\sqrt{89}}{22}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{-1±\sqrt{89}}{22} quando ± è più. Aggiungi -1 a \sqrt{89}.

$$y=\frac{\sqrt{89}-1}{22}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{-1±\sqrt{89}}{22} quando ± è meno. Sottrai \sqrt{89} da -1.

$$y=\frac{-\sqrt{89}-1}{22}$$

L'equazione è stata risolta.

$$y=\frac{\sqrt{89}-1}{22} y=\frac{-\sqrt{89}-1}{22}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$11y^{2}+y=2$$

Dividi entrambi i lati per 11.

$$\frac{11y^{2}+y}{11}=\frac{2}{11}$$

La divisione per 11 annulla la moltiplicazione per 11.

$$y^{2}+\frac{1}{11}y=\frac{2}{11}$$

Dividi \frac{1}{11}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{22}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{22} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$y^{2}+\frac{1}{11}y+\left(\frac{1}{22}\right)^{2}=\frac{2}{11}+\left(\frac{1}{22}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{22} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$y^{2}+\frac{1}{11}y+\frac{1}{484}=\frac{2}{11}+\frac{1}{484}$$

Aggiungi \frac{2}{11} a \frac{1}{484} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$y^{2}+\frac{1}{11}y+\frac{1}{484}=\frac{89}{484}$$

Fattore y^{2}+\frac{1}{11}y+\frac{1}{484}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{1}{22}\right)^{2}=\frac{89}{484}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{22}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{89}{484}}$$

Semplifica.

$$y+\frac{1}{22}=\frac{\sqrt{89}}{22} y+\frac{1}{22}=-\frac{\sqrt{89}}{22}$$

Sottrai \frac{1}{22} da entrambi i lati dell'equazione.

$$y=\frac{\sqrt{89}-1}{22} y=\frac{-\sqrt{89}-1}{22}$$